Если правая часть неоднородного уравнения, записанного в каноническом виде n∑k=0aky(k)=f(x) не относится к одному из рассмотренных выше классов функций, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Он более хлопотный, но может применяться в качестве оружия последнего шанса.
Начинается это решение, как всегда, с нахождения n частных решений однородного уравнения: y0m, где m=1…n, удовлетворяют условию n∑k=0aky(k)0m=0, так что общее решение однородного уравнения записывается в виде y0=n∑m=1Cmy0m,Cm=const. Будем искать решение неоднородного уравнения (1), заменив константы на функции от x; в виде y=n∑m=1φm(x)y0m. Найдём производную: y′=n∑m=1φ′m(x)y0m+n∑m=1φm(x)y′0m. Попробуем найти такие φm(x), чтобы n∑m=1φ′m(x)y0m=0, (мы пока не знаем, удастся ли это) тогда y′=n∑m=1φm(x)y′0m. Аналогично, требуя равенства слева, получим производные справа: n∑m=1φ′my′0m=0⟹y″=n∑m=1φmy′′0m, n∑m=1φ′my′′0m=0⟹y‴=n∑m=1φmy′′′0m, ………………………………………………… n∑m=1φ′my(n−2)0m=0⟹y(n−1)=n∑m=1φmy(n−1)0m. Последняя присутствующая в уравнении (1) производная выражается так: y(n)=n∑m=1φ′my(n−1)0m+n∑m=1φmy(n)0m.
Теперь подставим записанные выше производные в уравнение (1): n∑k=0aky(k)=n−1∑k=0aky(k)+any(n)=n−1∑k=0akn∑m=1φmy(k)0m+an(n∑m=1φ′my(n−1)0m+n∑m=1φmy(n)0m)= Присоединим к первой сумме оказавшееся поблизости ещё одно слагаемое: =(n−1∑k=0akn∑m=1φmy(k)0m+ann∑m=1φmy(n)0m)+ann∑m=1φ′my(n−1)0m=n∑k=0akn∑m=1φmy(k)0m+ann∑m=1φ′my(n−1)0m= Внесём ak, переставим суммы, вынесем φm, и вспомним про (2): =n∑m=1φmn∑k=0aky(k)0m+ann∑m=1φ′my(n−1)0m=ann∑m=1φ′my(n−1)0m=f(x) Последнее равенство выражает также условие на φm. Если теперь все эти условия, наложенные на φm, записать в одну систему {φ′1y01+⋯+φ′ny0n=0,φ′1y′01+⋯+φ′ny′0n=0,…φ′1y(n−2)01+⋯+φ′ny(n−2)0n=0,φ′1y(n−1)01+⋯+φ′ny(n−1)0n=f(x)an; то мы увидим, что это – система уравнений на φ′m, т.е. относительно φ′m уравнения не являются дифференциальными. А образуют они неоднородную (см нижнее уравнение) систему линейных дифференциальных уравнений, которая решается по правилу Крамера и имеет единственное решение.
Единственное, что могло пойти не так, это то, что могла оказаться вырожденной матрица коэффициентов. Если решения y0m, однако, линейно независимы, то матрица коэффициентов системы, образующая матрицу Вронского для этих решений (об этом будет чуть позже) будет иметь ненулевой определитель Вронского, и единственное решение по правилу Крамера будет существовать.
Найдя φ′m, останется их проинтегрировать по х, и полученные φm подставить в (3). Учитывая константы, которые получатся при интегрировании, это решение будет содержать и общее решение однородного уравнения y0.
Филиппов, № 576 Решить уравнение y″+3y′+2y=1ex+1. Сначала решим однородное уравнение y″0+3y′0+2y0=0, для чего составим и решим характеристическое: λ2+3λ+2=0,λ1=−2,λ2=−1. Частные решения однородного уравнения будут такими: y01=e−2x,y02=e−x; а решение неоднородного уравнения будем искать в виде y=e−2xφ1(x)+e−xφ2(x). Составим систему на φm типа (4); так как в нашей задаче n=2, она будет всего из двух уравнений: {e−2xφ′1+e−xφ′2=0,−2e−2xφ′1−e−xφ′2=1ex+1. Сложив уравнения, выразим из полученного φ′1 −e−2xφ′1=1ex+1,φ′1=−e2xex+1, подставим в первое уравнение и получим φ′2 e−xφ′2=−e−2xφ′1,φ′2=−e−xφ′1=exex+1. Интегрируем φ1=−∫e2xex+1dx=−∫ex(ex+1−1)ex+1dx=−∫(ex−exex+1)dx=−ex+ln(ex+1)+C1, φ2=∫exex+1dx=ln(ex+1)+C2; и подставляем в (5): y=e−2x[−ex+ln(ex+1)+C1]+e−x[ln(ex+1)+C2].
Задание: № 575, 577, 578.
Уравнениями Эйлера называются уравнения с коэффициентами уже непостоянными, но специального вида, позволяющего свести такие уравнения к уравнениям с постоянными коэффициентами. Выглядят они так: n∑k=0ak(bx+c)ky(k)=f(x) Решаются они заменой bx+c=et.
Филиппов, № 599 Решить уравнение (x−2)2y″−3(x−2)y′+4y=x. Замена: x−2=et,1=ett′x,t′x=e−t; тогда для производных y y′=˙yt′x=e−t˙y,y″=dy′dtt′x=e−tddt(e−t˙y)=e−t(−e−t˙y+e−t¨y)=e−2t(¨y−˙y). Подставляем в уравнение: (¨y−˙y)−3˙y+4y=et+2, ¨y−4˙y+4y=et+2. Полученное решается как обыкновенное линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решается характеристическое уравнение: λ2−4λ+4=0,λ=2,k=2, находится решение однородного уравнения: y0=C1e2t+C2te2t. Неоднородных решения нам понадобится два: y1 из уравнения ¨y1−4˙y1+4y1=et y1=Aet Aet−4Aet+4Aet=et A=1,y1=et и y2 из уравнения ¨y2−4˙y2+4y2=2 y2=B 4B=2,B=12,y2=12. Сумма всех y даст общее решение: y=y0+y1+y2=C1e2t+C2te2t+et+12=(C1+C2t)e2t+et+12. Осталось вернуться к переменным из задачи: et=x−2, y=[C1+C2ln(x−2)](x−2)2+x−32.
Задание: № 589, 591, 593, 600.