Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

04.12.2021

Демидович № 1779 (хвост)

Filed under: мат. ан. сем. 1,пепел,Решения — Shine @ 2:09 пп



Придумал, как дообъяснить без интегрирования по частям и разложения рациональных функций. Начнём с того очевидного факта, что

11+t+11t=(1t)+(1+t)(1+t)(1t)=21t2.
Разделим обе части на 2
11t2=12(11+t+11t)
и возведём в квадрат:
1(1t2)2=14(11+t+11t)2=14(1(1+t)2+211t2+1(1t)2).
Интеграл, с которого мы начали, путём замены преобразовался к интегралу как раз от выражения выше, который интегрируется довольно-таки таблично:
x2x22dx=dt(1t2)2=14(1(1+t)2+211t2+1(1t)2)dt=14(11+t+212ln|1+t1t|+11t)+C=
=14(ln|1+t1t|+1+t1t21t1t2)+C=14(ln|1+t1t|+2t1t2)+C=14ln|1+t1t|+12t1t2+C.
Осталось вернуться к исходной переменной x. Уравнения замены были такие: t=sinα>0, x=2cosα>2 (мы рассматривали 0<α<π2), из них 1=sin2α+cos2α=t2+2x2,1t2=2x2, 12x2=t2,t=12x2=1xx22; 1+t1t=1+1xx2211xx22=x+x22xx22=12(x+x22)2. Тогда в выражении для рассматриваемого интеграла x2x22dx=14ln|1+t1t|+12t1t2+C=14ln|12(x+x22)2|+121xx222x2+C= =12ln|x+x22|14ln2+14xx22+C=12ln|x+x22|+14xx22+C1, где C1C14ln2.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников