Придумал, как дообъяснить без интегрирования по частям и разложения рациональных функций. Начнём с того очевидного факта, что
11+t+11−t=(1−t)+(1+t)(1+t)(1−t)=21−t2.
Разделим обе части на 2
11−t2=12(11+t+11−t)
и возведём в квадрат:
1(1−t2)2=14(11+t+11−t)2=14(1(1+t)2+211−t2+1(1−t)2).
Интеграл, с которого мы начали, путём замены преобразовался к интегралу как раз от выражения выше, который интегрируется довольно-таки таблично:
∫x2√x2−2dx=∫dt(1−t2)2=14∫(1(1+t)2+211−t2+1(1−t)2)dt=14(−11+t+212ln|1+t1−t|+11−t)+C=
=14(ln|1+t1−t|+1+t1−t2−1−t1−t2)+C=14(ln|1+t1−t|+2t1−t2)+C=14ln|1+t1−t|+12t1−t2+C.
Осталось вернуться к исходной переменной x. Уравнения замены были такие: t=sinα>0, x=√2cosα>√2 (мы рассматривали 0<α<π2), из них
1=sin2α+cos2α=t2+2x2,1−t2=2x2,
1−2x2=t2,t=√1−2x2=1x√x2−2;
1+t1−t=1+1x√x2−21−1x√x2−2=x+√x2−2x−√x2−2=12(x+√x2−2)2.
Тогда в выражении для рассматриваемого интеграла
∫x2√x2−2dx=14ln|1+t1−t|+12t1−t2+C=14ln|12(x+√x2−2)2|+121x√x2−22x2+C=
=12ln|x+√x2−2|−14ln2+14x√x2−2+C=12ln|x+√x2−2|+14x√x2−2+C1,
где C1≡C−14ln2.
04.12.2021
Демидович № 1779 (хвост)
Комментариев нет »
No comments yet.
RSS feed for comments on this post.
Leave a comment
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.