Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Придумал, как дообъяснить без интегрирования по частям и разложения рациональных функций. Начнём с того очевидного факта, что

\[
\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}=\frac{\left(1-t\right)+\left(1+t\right)}{\left(1+t\right)\left(1-t\right)}=\frac{2}{1-t^{2}}.
\]
Разделим обе части на 2
\[
\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)
\]
и возведём в квадрат:
\[
\frac{1}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(1+t\right)^{2}}+2\frac{1}{1-t^{2}}+\frac{1}{\left(1-t\right)^{2}}\right).
\]
Интеграл, с которого мы начали, путём замены преобразовался к интегралу как раз от выражения выше, который интегрируется довольно-таки таблично:
\[
\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}dx=\int\frac{dt}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{\left(1+t\right)^{2}}+2\frac{1}{1-t^{2}}+\frac{1}{\left(1-t\right)^{2}}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{1+t}+2\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{1}{1-t}\right)+C=
\]
\[
=\frac{1}{4}\left(\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{1+t}{1-t^{2}}-\frac{1-t}{1-t^{2}}\right)+C=\frac{1}{4}\left(\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{2t}{1-t^{2}}\right)+C=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{1}{2}\frac{t}{1-t^{2}}+C.
\]
Осталось вернуться к исходной переменной $x$. Уравнения замены были такие: $t=\sin\alpha>0$, $x=\frac{\sqrt{2}}{\cos\alpha}>\sqrt{2}$ (мы рассматривали $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$), из них \[ 1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=t^{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad 1-t^{2}=\frac{2}{x^{2}}, \] \[ 1-\frac{2}{x^{2}}=t^{2},\qquad t=\sqrt{1-\frac{2}{x^{2}}}=\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}-2}; \] \[ \frac{1+t}{1-t}=\frac{1+\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}-2}}{1-\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}-2}}=\frac{x+\sqrt{x^{2}-2}}{x-\sqrt{x^{2}-2}}=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}-2}\right)^{2}. \] Тогда в выражении для рассматриваемого интеграла \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}dx=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{1}{2}\frac{t}{1-t^{2}}+C=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}-2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}-2}}{\frac{2}{x^{2}}}+C= \] \[ =\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-2}\right|-\frac{1}{4}\ln2+\frac{1}{4}x\sqrt{x^{2}-2}+C=\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-2}\right|+\frac{1}{4}x\sqrt{x^{2}-2}+C_{1}, \] где $C_{1}\equiv C-\frac{1}{4}\ln2$.