Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
1∫0xn−1lnmxdx=(−1)m∞∫0e−nyymdy.
Пусть n>1.
Умножим на −y обе части этого неравенства (y⩾0):
−ny⩽−y,
теперь применим возрастающую ex
e−ny⩽e−y,
и домножим на ym
e−nyym⩽e−yym.
Так как e−yym=e−y2⋅e−y2ym и
lim
\exists Y: при \forall y>Y
e^{-\frac{y}{2}}y^{m}<1.
Тогда при \forall y>Y
e^{-y}y^{m}< e^{-\frac{y}{2}},
интеграл
\int\limits _{0}^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy=-\left.2e^{-\frac{y}{2}}\right|_{0}^{\infty}=2
сходится, значит интеграл
\int\limits _{0}^{\infty}e^{-y}y^{m}dy
сходится по первому признаку сравнения, а следовательно, исходный
интеграл сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.
21.09.2022
Дополнение по №3784
Комментариев нет »
No comments yet.
RSS feed for comments on this post.
Leave a comment
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.