Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
\[
\int\limits _{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}xdx=\left(-1\right)^{m}\int\limits _{0}^{\infty}e^{-ny}y^{m}dy.
\]
Пусть $n>1$.

Умножим на $-y$ обе части этого неравенства ($y\geqslant0$):
\[
-ny\leqslant-y,
\]
теперь применим возрастающую $e^{x}$
\[
e^{-ny}\leqslant e^{-y},
\]
и домножим на $y^{m}$
\[
e^{-ny}y^{m}\leqslant e^{-y}y^{m}.
\]
Так как $e^{-y}y^{m}=e^{-\frac{y}{2}}\cdot e^{-\frac{y}{2}}y^{m}$ и
\[
\lim_{y\to\infty}e^{-\frac{y}{2}}y^{m}=0,
\]
$\exists Y$: при $\forall y>Y$
\[
e^{-\frac{y}{2}}y^{m}<1. \] Тогда при $\forall y>Y$
\[
e^{-y}y^{m}< e^{-\frac{y}{2}}, \] интеграл \[ \int\limits _{0}^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy=-\left.2e^{-\frac{y}{2}}\right|_{0}^{\infty}=2 \] сходится, значит интеграл \[ \int\limits _{0}^{\infty}e^{-y}y^{m}dy \] сходится по первому признаку сравнения, а следовательно, исходный интеграл сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.