Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Вначале в качестве бонуса объясню, почему $AE=EA=A$, и $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Тут дело даже не в матрицах, и мы перейдём на более высокий уровень абстракции.



Рассмотрим такое множество объектов (на будущее: такое множество называется группой), на котором введена операция умножения, имеющая следующие свойства:

1. Ассоциативность: $A\left(BC\right)=\left(AB\right)C$
2. Наличие правой единицы: $AE=A$
3. Наличие для каждого элемента правого обратного: $AA^{-1}=E$

Всеми этими свойствами обладает матричное умножение, но не только оно. Докажем, что на таком множестве правая единица будет и левой, а также что правый обратный элемент будет и левым обратным. Начнём с очевидного соображения (над знаком равенством указан номер применяемого свойства из вышеперечисленных):
$$A\overset{2}{=}AE\overset{3}{=}A\left(A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{-1}\right)\overset{1}{=}\left(AA^{-1}\right)\left(A^{-1}\right)^{-1}\overset{2}{=}E\left(A^{-1}\right)^{-1},$$
где $\left(A^{-1}\right)^{-1}$ — элемент, обратный к обратному. Тогда
$$A^{-1}A=A^{-1}\left(E\left(A^{-1}\right)^{-1}\right)\overset{1}{=}\left(A^{-1}E\right)\left(A^{-1}\right)^{-1}\overset{2}{=}A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{-1}\overset{3}{=}E,$$
т.е. правый обратный элемент, умноженный на исходный слева, тоже даст единицу. Пользуясь этим, докажем аналогичное про единицу:
$$EA\overset{3}{=}\left(AA^{-1}\right)A\overset{1}{=}A\left(A^{-1}A\right)=AE\overset{2}{=}A.$$

Теперь — о том, почему при получении обратной матрицы из единичной можно работать либо только со строками, либо со только столбцами.

Я этого не объяснил в гр. 06-261, так что восполняю допущеный пробел.

Если умножить слева матрицу $A$ на матрицу, полученную из единичной путём замены элемента с индексами $i$, $k$ (при $i\neq k$ там будет 0) на $\alpha$, получится матрица, в которой к строке №$i$ добавлена строка №$k$, умноженная на $\alpha$:
$$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & 1 & \dots & \alpha & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & 0 & \dots & 1 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1 \end{array}\right)\begin{array}{c} \\ i\\ \\ k\\ \\ \end{array}\cdot\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & \dots & a_{in}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & \dots & a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{i1}+\alpha a_{k1} & a_{i2}+\alpha a_{k2} & \dots & \dots & a_{in}+\alpha a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & \dots & a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right).$$
(Желающие могут умножить
$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\ x & y & z\\ m & n & k \end{array}\right),$$
чтобы убедиться и заодно понять, как это происходит)

Если умножить слева матрицу $A$ на матрицу, полученную из единичной путём замены элемента с индексами $i$, $i$ на $\alpha$, получится матрица, в которой строка №$i$ умножена на $\alpha$:
$$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \alpha & \dots & 0 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & 0 & \dots & 1 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1 \end{array}\right)\begin{array}{c} \\ i\\ \\ \\ \\ \end{array}\cdot\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & \dots & a_{in}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \alpha a_{i1} & \alpha a_{i2} & \dots & \dots & \alpha a_{in}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right).$$
Если умножить слева матрицу $A$ на матрицу, полученную из единичной путём перестановки столбцов №$i$ и №$k$, получится матрица, в которой строки №$i$ и №$k$ переставлены местами:
$$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & 0 & \dots & 1 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \dots & 1 & \dots & 0 & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1 \end{array}\right)\begin{array}{c} \\ i\\ \\ k\\ \\ \end{array}\cdot\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & \dots & a_{in}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & \dots & a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & \dots & a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & \dots & a_{in}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right).$$
Обобщая, можно сказать, что преобразовывать строки в исходной матрице $A$ (чтобы свести её к единичной) можно домножением последней на разнообразные матрицы слева:
$$P_{m}\dots P_{2}P_{1}A=E.$$
Тогда по определению
$$P_{m}\dots P_{2}P_{1}=A^{-1},$$
и если те же преобразования выполнить с единичной матрицей, получится
$$P_{m}\dots P_{2}P_{1}E=A^{-1}.$$
Именно поэтому у нас в правой части получается обратная матрица из единичной.

Элементарные преобразования столбцов производятся домножением на похожие матрицы справа:
$$AP_{1}P_{2}\dots P_{m}=AA^{-1}=E,$$
где
$$P_{1}P_{2}\dots P_{m}=A^{-1},$$
и при выполнении тех же преобразований с единичной матрицей, из неё получится
$$EP_{1}P_{2}\dots P_{m}=A^{-1}.$$
Если же начать комбинировать преобразования строк и столцов, то матрицы этих преобразований будут возникать с разных сторон от матрицы А, и собрать эти матричные множители в обратную матрицу не получится:
$$\dots P_{3}P_{1}AP_{2}\dots=E.$$