Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]
Но применяется, по аналогии с первым замечательным пределом, в такой форме: \[ \lim_{x\to a}f(x)=\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{x\to a}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e, \] \[ \lim_{x\to a}f(x)=0\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{x\to0}\left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e. \] Как и раньше, надо проследить за тем, чтобы в обоих местах $f(x)$ представляло бы одно и то же выражение, и чтобы оно стремилось к чему надо. Применяют второй замечательный предел к нахождению пределов вида $\lim\limits _{x\to a}\left(A(x)\right)^{B\left(x\right)}$, где \[ \lim\limits _{x\to a}A(x)=1,\qquad\lim\limits _{x\to a}B\left(x\right)=\infty. \] Тогда \[ \lim\limits _{x\to a}\left(A(x)\right)^{B\left(x\right)}=\lim\limits _{x\to a}\left[1+\left(A(x)-1\right)\right]^{\frac{1}{\left(A(x)-1\right)}B\left(x\right)\left(A(x)-1\right)}=\lim\limits _{x\to a}\left\{ \left[1+\left(A(x)-1\right)\right]^{\frac{1}{\left(A(x)-1\right)}}\right\} ^{B\left(x\right)\left(A(x)-1\right)}=e^{\lim\limits _{x\to a}B\left(x\right)\left(A(x)-1\right)}, \] а оставшийся предел с неопределённостью типа $\infty\cdot0$ находится другими методами. Можно сказать, что второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределённости типа $1^{\infty}$. Но прежде чем его применять, нужно убедиться, что эта неопределённость есть.
Например, в №506 её нет и пределы вычисляются без применения второго замечательного:
а) \[ \lim_{x\to0}\frac{1+x}{2+x}=\frac{1}{2},\qquad\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=1, \] \[ \lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}. \]
б) \[ \lim_{x\to1}\frac{1+x}{2+x}=\frac{2}{3},\qquad\lim_{x\to1}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\lim_{x\to1}\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}=\lim_{x\to1}\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{2}, \] \[ \lim_{x\to1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}. \]
в) \[ \lim_{x\to\infty}\frac{1+x}{2+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1,\qquad\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}-1}=\frac{0-0}{0-1}=0, \] \[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=\left(1\right)^{0}=1. \] Задание: объяснить, почему второй замечательный предел не нужен в №507 – 511.
Примеры пределов, где он нужен: №514 \[ \lim_{x\to0}\sqrt[x]{1-2x}=\lim_{x\to0}\left(1-2x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\left[\left(1-2x\right)^{\frac{1}{-2x}}\right]^{\left(-2x\right)\frac{1}{x}}=e^{-2}. \] №517 \[ \lim\limits _{x\to0}\left(1+x^{2}\right)^{\mathrm{ctg}^{2}\,x}=\lim\limits _{x\to0}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}x^{2}\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}}=\lim\limits _{x\to0}\left[\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\right]^{x^{2}\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}}= \] \[ =e^{\lim\limits _{x\to0}x^{2}\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}}=e^{\lim\limits _{x\to0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{2}\cos^{2}x}=e^{1}=e. \] Задание: № 512, 515, 519-525.
Иногда приходится применять второй замечательный предел под логарифмами, как в №530: \[ \lim\limits _{x\to\infty}x\left[\ln\left(x+1\right)-\ln x\right]=\lim\limits _{x\to\infty}x\ln\frac{x+1}{x}=\lim\limits _{x\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\ln e=1. \] Но в дробях с логарифмами часто можно без него обойтись. №535: \[ \lim\limits _{x\to\infty}\frac{\ln\left(2+e^{3x}\right)}{\ln\left(3+e^{2x}\right)}=\lim\limits _{x\to\infty}\frac{\ln\left[e^{3x}\left(2e^{-3x}+1\right)\right]}{\ln\left[e^{2x}\left(3e^{-2x}+1\right)\right]}=\lim\limits _{x\to\infty}\frac{3x+\ln\left(2e^{-3x}+1\right)}{2x+\ln\left(3e^{-2x}+1\right)}=\lim\limits _{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}\ln\left(2e^{-3x}+1\right)}{2+\frac{1}{x}\ln\left(3e^{-2x}+1\right)}= \] используем, что $\lim\limits _{x\to\infty}\frac{1}{x}\ln\left(2e^{-3x}+1\right)=0\cdot\ln1=0$, $\lim\limits _{x\to\infty}\frac{1}{x}\ln\left(3e^{-2x}+1\right)=0$: \[ =\frac{3+0}{2+0}=\frac{3}{2}. \] Задание: № 529, 531, 533, 536.
У второго замечательного предела есть два следствия, которые надо помнить отдельно.
1) Доказывается заменой $e^{x}-1=y$, $x=\ln\left(y+1\right)$ \[ \lim\limits _{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim\limits _{y\to0}\frac{y}{\ln\left(y+1\right)}=\lim\limits _{y\to0}\frac{1}{\frac{1}{y}\ln\left(y+1\right)}=\lim\limits _{y\to0}\frac{1}{\ln\left(y+1\right)^{\frac{1}{y}}}=\frac{1}{\ln e}=1 \]
2) Доказывается заменой $x=e^{y}$ \[ \lim\limits _{x\to1}\frac{x^{s}-1}{x-1}=\lim\limits _{y\to1}\frac{e^{sy}-1}{e^{y}-1}=\lim\limits _{y\to1}\frac{\frac{e^{sy}-1}{sy}\cdot s}{\frac{e^{y}-1}{y}}=s \] по первому следствию второго замечательного предела.
Пример применения обоих: №542 \[ \lim\limits _{x\to a}\frac{a^{x}-x^{a}}{x-a}=\lim\limits _{x\to a}\frac{a^{x}-a^{a}+a^{a}-x^{a}}{x-a}=\lim\limits _{x\to a}\left(\frac{a^{x}-a^{a}}{x-a}+\frac{a^{a}-x^{a}}{x-a}\right) \] \[ \lim\limits _{x\to a}\frac{a^{x}-a^{a}}{x-a}=\lim\limits _{x\to a}a^{a}\frac{a^{x-a}-1}{x-a}=\lim\limits _{x\to a}a^{a}\frac{e^{(x-a)\ln a}-1}{(x-a)\ln a}\ln a=a^{a}\ln a \] \[ \lim\limits _{x\to a}\frac{a^{a}-x^{a}}{x-a}=-a^{a}\lim\limits _{x\to a}\frac{\left(\frac{x}{a}\right)^{a}-1}{x-a}=-a^{a-1}\lim\limits _{x\to a}\frac{\left(\frac{x}{a}\right)^{a}-1}{\frac{x}{a}-1}=-a^{a-1}\cdot a=-a^{a} \] \[ \lim\limits _{x\to a}\frac{a^{x}-x^{a}}{x-a}=\lim\limits _{x\to a}\left(\frac{a^{x}-a^{a}}{x-a}+\frac{a^{a}-x^{a}}{x-a}\right)=a^{a}\ln a-a^{a}=a^{a}\left(\ln a-1\right) \] Задание: № 541, 544, 545.2, 545.3.
