Второй замечательный предел записывается так: limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e,
Но применяется, по аналогии с первым замечательным пределом, в такой форме: limx→af(x)=∞⟹limx→a(1+1f(x))f(x)=e, limx→af(x)=0⟹limx→0(1+f(x))1f(x)=e. Как и раньше, надо проследить за тем, чтобы в обоих местах f(x) представляло бы одно и то же выражение, и чтобы оно стремилось к чему надо. Применяют второй замечательный предел к нахождению пределов вида limx→a(A(x))B(x), где limx→aA(x)=1,limx→aB(x)=∞. Тогда limx→a(A(x))B(x)=limx→a[1+(A(x)−1)]1(A(x)−1)B(x)(A(x)−1)=limx→a{[1+(A(x)−1)]1(A(x)−1)}B(x)(A(x)−1)=elimx→aB(x)(A(x)−1), а оставшийся предел с неопределённостью типа ∞⋅0 находится другими методами. Можно сказать, что второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределённости типа 1∞. Но прежде чем его применять, нужно убедиться, что эта неопределённость есть.
Например, в №506 её нет и пределы вычисляются без применения второго замечательного:
а) limx→01+x2+x=12,limx→01−√x1−x=1, limx→0(1+x2+x)1−√x1−x=(12)1=12.
б) limx→11+x2+x=23,limx→11−√x1−x=limx→11−√x(1−√x)(1+√x)=limx→11(1+√x)=12, limx→1(1+x2+x)1−√x1−x=(23)12=√23.
в) limx→∞1+x2+x=limx→∞1x+12x+1=0+10+1=1,limx→∞1−√x1−x=limx→∞1x−1√x1x−1=0−00−1=0, limx→∞(1+x2+x)1−√x1−x=(1)0=1. Задание: объяснить, почему второй замечательный предел не нужен в №507 – 511.
Примеры пределов, где он нужен: №514 limx→0x√1−2x=limx→0(1−2x)1x=limx→0[(1−2x)1−2x](−2x)1x=e−2. №517 limx→0(1+x2)ctg2x=limx→0(1+x2)1x2x2cos2xsin2x=limx→0[(1+x2)1x2]x2cos2xsin2x= =elimx→0x2cos2xsin2x=elimx→0(xsinx)2cos2x=e1=e. Задание: № 512, 515, 519-525.
Иногда приходится применять второй замечательный предел под логарифмами, как в №530: limx→∞x[ln(x+1)−lnx]=limx→∞xlnx+1x=limx→∞ln(1+1x)x=lne=1. Но в дробях с логарифмами часто можно без него обойтись. №535: limx→∞ln(2+e3x)ln(3+e2x)=limx→∞ln[e3x(2e−3x+1)]ln[e2x(3e−2x+1)]=limx→∞3x+ln(2e−3x+1)2x+ln(3e−2x+1)=limx→∞3+1xln(2e−3x+1)2+1xln(3e−2x+1)= используем, что limx→∞1xln(2e−3x+1)=0⋅ln1=0, limx→∞1xln(3e−2x+1)=0: =3+02+0=32. Задание: № 529, 531, 533, 536.
У второго замечательного предела есть два следствия, которые надо помнить отдельно.
1) Доказывается заменой ex−1=y, x=ln(y+1) limx→0ex−1x=limy→0yln(y+1)=limy→011yln(y+1)=limy→01ln(y+1)1y=1lne=1
2) Доказывается заменой x=ey limx→1xs−1x−1=limy→1esy−1ey−1=limy→1esy−1sy⋅sey−1y=s по первому следствию второго замечательного предела.
Пример применения обоих: №542 limx→aax−xax−a=limx→aax−aa+aa−xax−a=limx→a(ax−aax−a+aa−xax−a) limx→aax−aax−a=limx→aaaax−a−1x−a=limx→aaae(x−a)lna−1(x−a)lnalna=aalna limx→aaa−xax−a=−aalimx→a(xa)a−1x−a=−aa−1limx→a(xa)a−1xa−1=−aa−1⋅a=−aa limx→aax−xax−a=limx→a(ax−aax−a+aa−xax−a)=aalna−aa=aa(lna−1) Задание: № 541, 544, 545.2, 545.3.
