Сначала -- прогрев на прошлую тему.
Задание: решить № 2268, 2272, 2276, 2277.
Несобственными интегралами называются некоторые интегралы, доопределённые на те случаи, в которых данная функция на данной области не является интегрируемой.
Например, если область интегрирования бесконечна хотя бы с одной стороны (скажем, от $a$ до $\infty$), то её нельзя разбить на конечное множество отрезков, нужное для построения интегральной суммы. Тогда интеграл по такому множеству определяется как предел обычного интеграла при нужной границе стремящейся к бесконечности: \[ \int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{b\to\infty}\int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{b\to\infty}F\left(b\right)-F\left(a\right), \] \[ \int\limits _{\infty}^{a}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{b\to\infty}\int\limits _{-b}^{a}f\left(x\right)dx=F\left(a\right)-\lim_{b\to\infty}F\left(-b\right). \] Другой частый случай – когда область интегрирования представляет собой конечный отрезок, но подынтегральная функция на нём не ограничена, а значит – не интегрируема. Если точкой разрыва функции является правая граница области интегрирования, то \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{\varepsilon\to+0}\int\limits _{a}^{b-\varepsilon}f\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\to+0}F\left(b-\varepsilon\right)-F\left(a\right), \] а если на левая -- \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\lim_{\varepsilon\to+0}\int\limits _{a+\varepsilon}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\to+0}F\left(a+\varepsilon\right)-F\left(b\right). \] Разумеется, приведённые определения служат базовыми элементами для более сложных определений. Например, точка разрыва $c$ может лежать в середине отрезка $\left[a,b\right]$. Тогда \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx\equiv\int\limits _{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int\limits _{c}^{b}f\left(x\right)dx, \] где слагаемые определяются так, как было описано выше. Точек разрыва может быть и больше одной – значит, интеграл придётся дробить сильнее. Возможен интеграл по всей вещественной оси: \[ \int\limits _{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx\equiv\int\limits _{-\infty}^{a}f\left(x\right)dx+\int\limits _{a}^{\infty}f\left(x\right)dx, \] и т.д.
Пример: Демидович, № 2334 \[ \int\limits _{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\left.-\frac{1}{x}\right|_{a}^{\infty}=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}\right)-\left(-\frac{1}{a}\right)=0+\frac{1}{a}=\frac{1}{a} \]
Пример: Демидович, № 2335 \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx \] Тут проблемы начинаются в нуле. \[ \int\ln xdx=\int\ln xx'dx=x\ln x-\int\frac{1}{x}xdx=x\ln x-\int1dx=x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1\right)+C, \] \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx=\left.x\left(\ln x-1\right)\right|_{0}^{1}= 1\cdot\left(\ln1-1\right) -\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\left(\ln\varepsilon-1\right) = -\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)-1. \] Отдельно \[ \lim_{\varepsilon\to+0}\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)=\lim_{\ln\varepsilon\to-\infty}\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)=\left(1-0\right)=1, \] \[ \lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon=\lim_{\xi\to\infty}\frac{1}{\xi}\ln\frac{1}{\xi}=-\lim_{\xi\to\infty}\frac{\ln\xi}{\xi}=0. \] Тогда \[ \int\limits _{0}^{1}\ln xdx= -\lim_{\varepsilon\to+0}\varepsilon\ln\varepsilon\left(1-\frac{1}{\ln\varepsilon}\right)-1=-0\cdot1-1=-1. \] Дальнейшая работа потребует применения методов, изучавшихся в конце прошлого и начале этого семестра.
Задание: № 2336 – 2338, 2340, 2344, 2346.
