1) Пусть существуют такие числа $m$ и $M$, что \begin{equation} m < a < M.\label{sep} \end{equation} Докажем, что существует также такое число $C$, что \begin{equation} \left|a\right| < C.\label{mod} \end{equation}
Далее рассмотрим два случая.
a. Пусть $a\geqslant0$ и $\left|a\right|=a$. Из неравенства (\ref{sep}) возьмём правую часть: \[ a < M, \] т.е. \[ \left|a\right| < M. \] Используем это неравенство ниже.
b. Пусть теперь $a < 0$ и $\left|a\right|=-a$. Из неравенства (\ref{sep}) возьмём левую часть: \[ m < a, \] перенесём \[ -a < -m, \] и заменим \[ \left|a\right| < -m. \] Итого или $\left|a\right| < M$, или $\left|a\right| < -m$. Но $M < \max\left(M,-m\right)$ и $-m < \max\left(M,-m\right)$, откуда в любом случае \[ \left|a\right| < \max\left(M,-m\right). \] Обозначим $C=\max\left(M,-m\right)$, и получим (\ref{mod}).
2) Докажем теперь в обратную сторону: из существования $C$, для которого верно (\ref{mod}), докажем, что есть такие $m$ и $M$, что (\ref{sep}). Заметим, что тогда $C > \left|a\right|\geqslant0$, откуда $C > 0$. Снова рассмотрим разные знаки $a$.
a. Пусть $a\geqslant0$, и $\left|a\right|=a$. Тогда неравенство (\ref{mod}) превратится в \[ a < C. \] Но при этом $-C < 0\leqslant a$, и в итоге \[ -C < a < C. \]
b. Пусть теперь $a < 0$ и $\left|a\right|=-a$. Тогда неравенство (\ref{mod}) превратится в \[ -a < C, \] т.е. \[ -C < a \] Но $a < 0 < C$, а значит, опять \[ -C < a < C. \] Получающееся в любом случае неравенство можно записать в виде \[ m < a < M, \] где $m=-C$, $M=C$.
Доказав в обе стороны мы получили, что условия (\ref{sep}) и (\ref{mod}) равнозначны.
В случае последовательности $x_{n}$ это означает, что если существуют такие $m$ и $M$, что \[ m < x_{n} < M, \] то существует такое $C$, что \[ \left|x_{n}\right| < C. \] Таким образом, эти два определения ограниченности равнозначны; последовательность $x_{n}$ либо удовлетворяет обоим, либо не удовлетворяет ни одному.
