Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

1) Пусть существуют такие числа $m$ и $M$, что $$\begin{equation} m < a < M.\label{sep} \end{equation}$$ Докажем, что существует также такое число $C$, что $$\begin{equation} \left|a\right| < C.\label{mod} \end{equation}$$

Далее рассмотрим два случая.

a. Пусть $a\geqslant0$ и $\left|a\right|=a$. Из неравенства ($\ref{sep}$) возьмём правую часть: $$a < M,$$ т.е. $$\left|a\right| < M.$$ Используем это неравенство ниже.

b. Пусть теперь $a < 0$ и $\left|a\right|=-a$. Из неравенства ($\ref{sep}$) возьмём левую часть: $$m < a,$$ перенесём $$-a < -m,$$ и заменим $$\left|a\right| < -m.$$ Итого или $\left|a\right| < M$, или $\left|a\right| < -m$. Но $M < \max\left(M,-m\right)$ и $-m < \max\left(M,-m\right)$, откуда в любом случае $$\left|a\right| < \max\left(M,-m\right).$$ Обозначим $C=\max\left(M,-m\right)$, и получим ($\ref{mod}$).

2) Докажем теперь в обратную сторону: из существования $C$, для которого верно ($\ref{mod}$), докажем, что есть такие $m$ и $M$, что ($\ref{sep}$). Заметим, что тогда $C > \left|a\right|\geqslant0$, откуда $C > 0$. Снова рассмотрим разные знаки $a$.

a. Пусть $a\geqslant0$, и $\left|a\right|=a$. Тогда неравенство ($\ref{mod}$) превратится в $$a < C.$$ Но при этом $-C < 0\leqslant a$, и в итоге $$-C < a < C.$$

b. Пусть теперь $a < 0$ и $\left|a\right|=-a$. Тогда неравенство ($\ref{mod}$) превратится в $$-a < C,$$ т.е. $$-C < a$$ Но $a < 0 < C$, а значит, опять $$-C < a < C.$$ Получающееся в любом случае неравенство можно записать в виде $$m < a < M,$$ где $m=-C$, $M=C$.

Доказав в обе стороны мы получили, что условия ($\ref{sep}$) и ($\ref{mod}$) равнозначны.

В случае последовательности $x_{n}$ это означает, что если существуют такие $m$ и $M$, что $$m < x_{n} < M,$$ то существует такое $C$, что $$\left|x_{n}\right| < C.$$ Таким образом, эти два определения ограниченности равнозначны; последовательность $x_{n}$ либо удовлетворяет обоим, либо не удовлетворяет ни одному.