Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой $$y=x\sqrt{\frac{x}{a}}=a^{-1/2}x^{3/2},\quad0\leqslant x\leqslant a$$ вокруг оси $Ox$.

Подставим в площадь: $$y'=a^{-1/2}\frac{3}{2}x^{1/2},$$ $$1+y'{}^{2}=1+\left(a^{-1/2}\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^{2}=1+\frac{9}{4a}x,$$ $$S=2\pi\int\limits_{0}^{a}y\sqrt{1+y'{}^{2}}dx=2\pi\int\limits_{0}^{a}a^{-1/2}x^{3/2}\sqrt{1+\frac{9}{4a}x}dx=\frac{2\pi}{\sqrt{a}}\int\limits_{0}^{a}x^{3/2}\sqrt{1+\frac{9}{4a}x}dx.$$

Конечно, тут можно применить подстановку Чебышёва: $p=\frac{3}{2}$, $q=1$, $r=\frac{1}{2}$; $$\frac{p+1}{q}=\frac{\frac{3}{2}+1}{1}=\frac{5}{2},$$ $$\frac{p+1}{q}+r=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3,$$ и тут годится третья замена. Но на выходе получается интеграл, раскладывающийся на шесть частей, что громоздко.

Можно пойти и другим путём. Заодно покажу пару преобразований, для которых раньше не было повода.

Замена

Воспользуемся тем, что $\mathrm{tg} ^{2}\varphi+1=\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)^{2}$. Совершим в интеграле замену $\varphi=\mathrm{arctg} \sqrt{\frac{9x}{4a}}$ $$\frac{9x}{4a}=\mathrm{tg} ^{2}\varphi,\quad x=\frac{4a}{9}\mathrm{tg} ^{2}\varphi.$$ Старые пределы $0\leqslant x\leqslant a$ будут пробегаться $x$ из предыдущей формулы при $$0\leqslant\varphi\leqslant \mathrm{arctg} \frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}$$ Тогда $$0\leqslant \mathrm{tg} \varphi\leqslant\frac{3}{2},$$ $$0\leqslant \mathrm{tg} ^{2}\varphi\leqslant\frac{9}{4},$$ $$0\leqslant\frac{4}{9}\mathrm{tg} ^{2}\varphi\leqslant1,$$ $$0\leqslant\frac{4a}{9}\mathrm{tg} ^{2}\varphi=x\leqslant a.$$ Легко видеть, что пределы для $\varphi$ включаются в первую четверть. $$\sqrt{1+\frac{9}{4a}x}=\sqrt{1+\frac{9}{4a}\frac{4a}{9}\mathrm{tg} ^{2}\varphi}=\sqrt{\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)^{2}}=\left|\frac{1}{\cos\varphi}\right|=\frac{1}{\cos\varphi}$$ $$dx=\frac{8a}{9}\mathrm{tg} \varphi\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)^{2}d\varphi$$ Переобозначим $\mathrm{arctg} \frac{3}{2}\equiv\varphi_{m}$, тогда $0\leqslant\varphi\leqslant\varphi_{m}$. $$S=\frac{2\pi}{\sqrt{a}}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\left(\frac{4a}{9}\mathrm{tg} ^{2}\varphi\right)^{3/2}\frac{1}{\cos\varphi}\frac{8a}{9}\mathrm{tg} \varphi\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)^{2}d\varphi=\frac{2\pi}{\sqrt{a}}\left(\frac{4a}{9}\right)^{3/2}\frac{8a}{9}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\mathrm{tg} ^{4}\varphi}{\cos^{3}\varphi}d\varphi=$$ $$\begin{equation} =\frac{2^{7}}{3^{5}}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\sin^{4}\varphi}{\cos^{7}\varphi}d\varphi.\label{trigint} \end{equation}$$ Для взятия последнего интеграла придётся вывести пару формул.

Отступление об интегралах от синусов и косинусов, умножающихся в разных степенях

1) Интеграл ниже провернём по частям, перебросив производные с косинусов на синусы: $$\int\limits_{a}^{b}\sin^{\alpha}\varphi\cos^{\beta}\varphi d\varphi=-\int\limits_{a}^{b}\sin^{\alpha-1}\varphi\cos^{\beta}\varphi\cos'\varphi d\varphi=-\frac{1}{\beta+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{\alpha-1}\varphi\left(\cos^{\beta+1}\varphi\right)'d\varphi=$$ $$=-\left.\frac{1}{\beta+1}\sin^{\alpha-1}\varphi\cos^{\beta+1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{1}{\beta+1}\int\limits_{a}^{b}\left(\sin^{\alpha-1}\varphi\right)'\cos^{\beta+1}\varphi d\varphi=$$ $$\begin{equation} =-\left.\frac{1}{\beta+1}\sin^{\alpha-1}\varphi\cos^{\beta+1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{\alpha-1}{\beta+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{\alpha-2}\varphi\cos^{\beta+2}\varphi d\varphi\label{p2m2} \end{equation}$$ Так можно у синуса уменьшить степень на 2, а у косинуса – увеличить на 2 (аналогично выводится формула, дающая обратный эффект). Однако можно менять степень и одного множителя, не трогая степень другого.

2) В полученной формуле ($\ref{p2m2}$) заменим $\alpha-2=m$, $\beta+2=n$ $$\int\limits_{a}^{b}\sin^{m+2}\varphi\cos^{n-2}\varphi d\varphi=-\left.\frac{1}{n-1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{n-1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{m+1}{n-1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n}\varphi d\varphi$$ и выразим интеграл из правой части $$\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n}\varphi d\varphi=\left.\frac{1}{m+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{n-1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{n-1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m+2}\varphi\cos^{n-2}\varphi d\varphi=$$ после чего в интеграле от степени синуса отсоединим квадрат $$=\left.\frac{1}{m+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{n-1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{n-1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\left(1-\cos^{2}\varphi\right)\cos^{n-2}\varphi d\varphi=$$ и разобъём интеграл на два $$=\left.\frac{1}{m+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{n-1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{n-1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n-2}\varphi d\varphi-\frac{n-1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n}\varphi d\varphi$$ Перенесём интегралы в левую часть: $$\left(1+\frac{n-1}{m+1}\right)\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n}\varphi d\varphi=\frac{m+n}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n}\varphi d\varphi=\left.\frac{1}{m+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{n-1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{n-1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{n-2}\varphi d\varphi$$ заменим $n-2=k$: $$\frac{m+k+2}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{k+2}\varphi d\varphi=\left.\frac{1}{m+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{k+1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{k+1}{m+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{k}\varphi d\varphi$$ и снова выразим интеграл из правой части $$\begin{equation} \int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{k}\varphi d\varphi=-\left.\frac{1}{k+1}\sin^{m+1}\varphi\cos^{k+1}\varphi\right|_{a}^{b}+\frac{m+k+2}{k+1}\int\limits_{a}^{b}\sin^{m}\varphi\cos^{k+2}\varphi d\varphi\label{p2} \end{equation}$$ Полученная формула позволяет поднимать степень косинуса, не трогая степень синуса.

Приложение полученных формул к интегралу из ($\ref{trigint}$)

Применим формулу ($\ref{p2m2}$): $$\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\sin^{4}\varphi}{\cos^{7}\varphi}d\varphi=\left.\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi\cos^{-6}\varphi\right|_{0}^{\varphi_{m}}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\sin^{2}\varphi\cos^{-5}\varphi d\varphi=$$ и ещё раз: $$=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{2}\left[\left.\frac{1}{4}\sin\varphi\cos^{-4}\varphi\right|_{0}^{\varphi_{m}}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\cos^{-3}\varphi d\varphi\right]=$$ $$=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{8}\sin\varphi_{m}\cos^{-4}\varphi_{m}+\frac{1}{8}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\cos^{-3}\varphi d\varphi.$$ Нулевая степень синуса нас вполне устроит, поэтому дальше применим формулу ($\ref{p2}$): $$\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\cos^{-3}\varphi d\varphi=\left.\frac{1}{2}\sin\varphi\cos^{-2}\varphi\right|_{0}^{\varphi_{m}}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\cos^{-1}\varphi d\varphi=\frac{1}{2}\sin\varphi_{m}\cos^{-2}\varphi_{m}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{d\varphi}{\cos\varphi}$$ $$\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{d\varphi}{\cos\varphi}=\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\cos\varphi}{\cos^{2}\varphi}d\varphi=\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\cos\varphi}{1-\sin^{2}\varphi}d\varphi=\left.\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}\right|\right|_{0}^{\varphi_{m}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin\varphi_{m}}{1-\sin\varphi_{m}}\right|$$ Тогда $$\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\sin^{4}\varphi}{\cos^{7}\varphi}d\varphi=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{8}\sin\varphi_{m}\cos^{-4}\varphi_{m}+\frac{1}{8}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\cos^{-3}\varphi d\varphi=$$ $$=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{8}\sin\varphi_{m}\cos^{-4}\varphi_{m}+\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}\sin\varphi_{m}\cos^{-2}\varphi_{m}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{d\varphi}{\cos\varphi}\right]=$$ $$=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{8}\sin\varphi_{m}\cos^{-4}\varphi_{m}+\frac{1}{16}\sin\varphi_{m}\cos^{-2}\varphi_{m}+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{1+\sin\varphi_{m}}{1-\sin\varphi_{m}}\right|.$$ Вспомним, что $\mathrm{arctg} \frac{3}{2}=\varphi_{m}$. Тогда $$\mathrm{tg} \varphi_{m}=\frac{3}{2},\quad \mathrm{tg} ^{2}\varphi_{m}=\frac{9}{4}$$ $$\cos^{2}\varphi_{m}=\frac{1}{1+\mathrm{tg} ^{2}\varphi_{m}}=\frac{1}{1+\frac{9}{4}}=\frac{4}{4+9}=\frac{4}{13},\quad\cos^{-2}\varphi_{m}=\frac{13}{4}$$ $$\sin^{2}\varphi_{m}=1-\cos^{2}\varphi_{m}=1-\frac{4}{13}=\frac{9}{13},\quad\sin\varphi_{m}=\sqrt{\frac{9}{13}}$$ Подставим: $$\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\sin^{4}\varphi}{\cos^{7}\varphi}d\varphi=\frac{1}{6}\sin^{3}\varphi_{m}\cos^{-6}\varphi_{m}-\frac{1}{8}\sin\varphi_{m}\cos^{-4}\varphi_{m}+\frac{1}{16}\sin\varphi_{m}\cos^{-2}\varphi_{m}+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{1+\sin\varphi_{m}}{1-\sin\varphi_{m}}\right|=$$ $$=\frac{1}{6}\frac{9}{13}\sqrt{\frac{9}{13}}\left(\frac{13}{4}\right)^{3}-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{9}{13}}\left(\frac{13}{4}\right)^{2}+\frac{1}{16}\sqrt{\frac{9}{13}}\left(\frac{13}{4}\right)+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{1+\sqrt{\frac{9}{13}}}{1-\sqrt{\frac{9}{13}}}\right|=$$ $$=\sqrt{\frac{9}{13}}\left(\frac{13}{4}\right)\left[\frac{1}{6}\frac{9}{13}\left(\frac{13}{4}\right)^{2}-\frac{1}{8}\left(\frac{13}{4}\right)+\frac{1}{16}\right]+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{\sqrt{13}+3}{\sqrt{13}-3}\right|=$$ $$=\frac{3}{\sqrt{13}}\frac{13}{4}\left[3\frac{13}{32}-\frac{13}{32}+\frac{1}{16}\right]+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{\sqrt{13}+3}{\sqrt{13}-3}\right|=\frac{3}{4}\sqrt{13}\left[2\frac{13}{32}+\frac{1}{16}\right]+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{\left(\sqrt{13}+3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}{\left(\sqrt{13}-3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}\right|=$$ $$=\frac{3}{4}\sqrt{13}\frac{14}{16}+\frac{1}{32}\ln\left|\frac{\left(\sqrt{13}+3\right)^{2}}{\left(13-9\right)}\right|=\frac{21}{2^{5}}\sqrt{13}+\frac{1}{2^{5}}\ln\left|\frac{\left(\sqrt{13}+3\right)^{2}}{4}\right|=\frac{21}{2^{5}}\sqrt{13}+\frac{1}{2^{4}}\ln\frac{\sqrt{13}+3}{2}.$$ Окончательно: $$S=\frac{2^{7}}{3^{5}}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{\varphi_{m}}\frac{\sin^{4}\varphi}{\cos^{7}\varphi}d\varphi=\frac{2^{7}}{3^{5}}\pi a^{2}\left[\frac{21}{2^{5}}\sqrt{13}+\frac{1}{2^{4}}\ln\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right]=\frac{2^{2}}{3^{5}}\pi a^{2}\left[21\sqrt{13}+2\ln\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right],$$ ровно как у Демидовича.