Сначала -- прогрев на прошлую тему.
Задание: решить № 2268, 2272, 2276, 2277.
Несобственными интегралами называются некоторые интегралы, доопределённые на те случаи, в которых данная функция на данной области не является интегрируемой.
Например, если область интегрирования бесконечна хотя бы с одной стороны (скажем, от a до ∞), то её нельзя разбить на конечное множество отрезков, нужное для построения интегральной суммы. Тогда интеграл по такому множеству определяется как предел обычного интеграла при нужной границе стремящейся к бесконечности: ∞∫af(x)dx≡limb→∞b∫af(x)dx=limb→∞F(b)−F(a), a∫∞f(x)dx≡limb→∞a∫−bf(x)dx=F(a)−limb→∞F(−b). Другой частый случай – когда область интегрирования представляет собой конечный отрезок, но подынтегральная функция на нём не ограничена, а значит – не интегрируема. Если точкой разрыва функции является правая граница области интегрирования, то b∫af(x)dx≡limε→+0b−ε∫af(x)dx=limε→+0F(b−ε)−F(a), а если на левая -- b∫af(x)dx≡limε→+0b∫a+εf(x)dx=limε→+0F(a+ε)−F(b). Разумеется, приведённые определения служат базовыми элементами для более сложных определений. Например, точка разрыва c может лежать в середине отрезка [a,b]. Тогда b∫af(x)dx≡c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx, где слагаемые определяются так, как было описано выше. Точек разрыва может быть и больше одной – значит, интеграл придётся дробить сильнее. Возможен интеграл по всей вещественной оси: ∞∫−∞f(x)dx≡a∫−∞f(x)dx+∞∫af(x)dx, и т.д.
Пример: Демидович, № 2334 ∞∫adxx2=−1x|∞a=limb→∞(−1b)−(−1a)=0+1a=1a
Пример: Демидович, № 2335 1∫0lnxdx Тут проблемы начинаются в нуле. ∫lnxdx=∫lnxx′dx=xlnx−∫1xxdx=xlnx−∫1dx=xlnx−x+C=x(lnx−1)+C, 1∫0lnxdx=x(lnx−1)|10=1⋅(ln1−1)−limε→+0ε(lnε−1)=−limε→+0εlnε(1−1lnε)−1. Отдельно limε→+0(1−1lnε)=limlnε→−∞(1−1lnε)=(1−0)=1, limε→+0εlnε=limξ→∞1ξln1ξ=−limξ→∞lnξξ=0. Тогда 1∫0lnxdx=−limε→+0εlnε(1−1lnε)−1=−0⋅1−1=−1. Дальнейшая работа потребует применения методов, изучавшихся в конце прошлого и начале этого семестра.
Задание: № 2336 – 2338, 2340, 2344, 2346.
