Демидович, №3868 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

09.12.2009

Демидович, №3868

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 9:51 пп

Сначала возьмём вспомогательный интеграл:

$\displaystyle I=\int\limits_0^{\pi/2}\ln\left( a^2\sin^2x+b^2\cos^2x \right) dx$

(1)

$\displaystyle I'_a=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{2a\sin^2x}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}... ...\int\limits_0^{\pi/2}\frac{2a\tg^2x}{a^2\tg^2x+b^2}\frac{(\tg x)'}{tg^2x+1}dx.$

Заменяя $\tg x=t$ , получим:

$\displaystyle I'_a=\int\limits_0^{\infty}\frac{2at^2}{a^2t^2+b^2}\frac{dt}{t^2+1}.$

Опуская подробности взятия интеграла рациональной функции, обьявлю конечный результат:

$\displaystyle I'_a=\frac{\pi}{a+b}.$

(2)

Аналогично находится, что

$\displaystyle I'_b=\frac{\pi}{a+b}.$

Отсюда $I=\pi\ln(a+b)+\varphi(a)$ . Учитывая (2), получим $I'_a=\dfrac{\pi}{a+b}+\varphi'(a)=\dfrac{\pi}{a+b}$ $\Longrightarrow$ $\varphi(a)=C=const$ . Вычислив $I$ при $a=b=1$ , найдём константу $C$ :

$\displaystyle I(1,1)=\int\limits_0^{\pi/2}\ln\left( \sin^2x+\cos^2x \right) dx=\int\limits_0^{\pi/2}\ln 1 dx=\int\limits_0^{\pi/2} 0 dx=0=\pi\ln(1+1)+C,$

$\displaystyle C=-\pi\ln 2$

$\displaystyle I=\pi\ln(a+b)-\pi\ln 2=\pi\ln\frac{a+b}{2}.$

Вернёмся теперь к основному интегралу этого номера.

$\displaystyle \int\limits_0^1\ln\Gamma(x)dx=\int\limits_0^{1/2}\ln\Gamma(x)dx+\int\limits_{1/2}^1\ln\Gamma(x)dx=$

В первом из этих интегралов произведём замену вида $x=t$ , а во втором - $x=1-t$ :

$\displaystyle =\int\limits_0^{1/2}\ln\Gamma(t)dt+\int\limits_{1/2}^0\ln\Gamma(1... ...\Gamma(t)\Gamma(1-t)\right) dt= \int\limits_0^{1/2}\ln\frac{\pi}{\sin\pi x}dt=$