Даишев, Кузнецова 9.33 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

02.05.2012

Даишев, Кузнецова 9.33

Filed under: ТФКП — Shine @ 6:09 пп

Найти оригинал функции:

1 F (p) = ----------------2, (p2 - 4) (p2 + 1)

(1)

пользуясь второй теоремой разложения.

Согласно второй теореме разложения

∑ f (t) = respiF (p)ept, i

(2)

где $pi$ – особые точки функции $F (p)$ . Найдём особые точки функции (1). Эта функция имеет полюсы в точках, в которых

( 2 ) ( 2 )2 p - 4 p + 1 = 0.

Решая это уравнение, получим:

p1 = - i,p2 = i,p3 = - 2,p4 = 2.

Найдём вычеты $pt F(p)e$ в этих особых точках. Позволю себе напомнить, что $a$ – полюс функции $f (z )$ порядка $k$ , если

k ∃lzi→ma f(z)(z - a) ⁄= 0,

и в таком случае вычет в точке $a$ вычисляется по формуле

k-1 [ ]|| resaf(z) = ---1----d---- f (z)(z - a )k | (k - 1 )!dzk -1 |z=a

Так как

pt ---(p-+-2)ept---- -------ept------- e--2t pli→mp3 F(p)e (p - p3) = lp→im-2 2 2 2 = pli→m- 2 2 2 = - 100 ⁄= 0, (p - 4) (p + 1) (p - 2) (p + 1)

то точка $p3$ – полюс первого порядка для функции $pt F (p)e$ , и

e-2t resp3F (p)ept = lim F (p)ept(p - p3) = - ----. p→p3 100

Так как

(p - 2)ept e-2t lim F (p)ept(p - p3) = lim ----------------2 = ----⁄= 0, p→p4 p→2 (p2 - 4) (p2 + 1) 100

e-2t resp4F (p)ept = lim F (p )ept(p - p4) = ----. p→p4 100

Следующие две точки оказываются полюсами второго порядка. Рассмотрим сначала точку $p 1$ :

pt 2 ept e- it pl→imp F (p)e (p - p1) = lp→im-i----------------------2 = ---- ⁄= 0, 1 (p - 2) (p + 2) (p - i) 20

следовательно, это действительно полюс второго порядка, и вычет следует считать так:

| pt d------------ept----------|| (5t---7i)e--it resp1F (p)e = dp (p - 2) (p + 2) (p - i)2 | = 100 . p=- i

| pt d ept | (5t + 7i)eit resp2F (p)e = -------------------------2|| = ----------- . dp (p - 2) (p + 2 ) (p + i) p=i 100

По формуле (2)

(5t + 7i) eit (5t - 7i)e-it e2t e- 2t f (t) = ----------- + -------------+ ----- ----, 100 100 100 100

что после упрощения даёт окончательный ответ

f (t) = sinh-(2t)---7-sin-t +-5t-cost. 50

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников