Полиномом называется функция вида \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=a_{m}x^{m}+\dots+a_{1}x+a_{0}=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}, \end{equation}
или сумма степеней аргумента от нулевой до $m$, умноженных на постоянные коэффициенты. Число $m$ называется степенью полинома. При сложении, вычитании и умножении полиномов друг на друга получаются тоже полиномы. При этом степень суммы есть старшая степень слагаемых, а степень произведения – есть сумма степеней множителей.
Деление полиномов уже даёт полиномы не всегда, но существует операция деления полиномов с остатком, аналогичная таковой для целых чисел. При делении с остатком полинома $P_{m}\left(x\right)$ на полином $Q_{n}\left(x\right)$ получается частное $R_{m-n}\left(x\right)$ и остаток $r_{l}\left(x\right)$, степень которого меньше степени делителя: \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=Q_{n}\left(x\right)R_{m-n}\left(x\right)+r_{l}\left(x\right),\quad l < n. \end{equation} Если $r_{l}\left(x\right)=0$, говорят, что полином $P_{m}\left(x\right)$ делится нацело на полином $Q_{n}\left(x\right)$.
Пример: Разделить с остатком $x^{3}+2x+1$ на $x+1$.
Поделим столбиком, заполнив в делимом и делителе нулями отсутствующие степени: \[ \begin{array}{ccccccc} x^{3} & +0x^{2} & +2x & +1 & \underline{|x} & +1\\ x^{3} & +x^{2} & & & x^{2} & -x & +3\\ & -x^{2} & +2x\\ & -x^{2} & -x\\ & & 3x & +1\\ & & 3x & +3\\ & & & -2 \end{array} \] Итак, $x^{3}+2x+1=\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+3\right)-2$.
Задание: Разделить с остатком:
а) $2x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x+6$ на $x^{2}-3x+1$;
б) $x^{3}-3x^{2}-x-1$ на $3x^{2}-2x+1$.
Корнем полинома $P_{m}\left(x\right)$ называется такое число $b$, при котором $P_{m}\left(b\right)=0$. Поделим с остатком полином $P_{m}\left(x\right)$ на выражение $\left(x-b\right)$. Это выражение тоже является полиномом, причём степени 1. Остаток при делении должен иметь степень меньше 1; но степени полиномов – целые неотрицательные числа. Всё это оставляет нам одну возможность – остаток имеет степень 0: \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=\left(x-b\right)R_{m-1}\left(x\right)+r_{0}. \end{equation} Если теперь в это разложение подставить $x=b$, то \begin{equation} P_{m}\left(b\right)=0=\left(b-b\right)R_{m-1}\left(x\right)+r_{0}=r_{0} \end{equation} откуда $r_{0}=0$, и таким образом, полином $P_{m}\left(x\right)$ делится нацело на $\left(x-b\right)$: \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=\left(x-b\right)R_{m-1}\left(x\right). \end{equation} Из последней формулы видно, что верно и обратное: если полином $P_{m}\left(x\right)$ делится нацело на $\left(x-b\right)$, то $b$ является его корнем.
Делиться полином $P_{m}\left(x\right)$ может и не единожды: если для частного $R_{m-1}\left(x\right)$ число $b$ тоже является корнем, оно тоже делится на $\left(x-b\right)$, и тогда последнее снова можно вынести за скобки. Будем выносить $\left(x-b\right)$ за скобки покуда это возможно: \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=\left(x-b\right)^{2}R_{m-2}\left(x\right)=\dots=\left(x-b\right)^{k}R_{m-k}\left(x\right). \end{equation} Накопившаяся при выносе степень $k$ у скобок $\left(x-b\right)$ называется кратностью корня $b$.
Для частного $R_{m-k}\left(x\right)$ число $b$ уже не является корнем по построению. Однако если $m > k$, то по основной теореме алгебры полином $R_{m-k}\left(x\right)$ имеет свой корень (назовём его $c$) кратности $j$, и этот корень позволит нам продолжить разложение: \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=\left(x-b\right)^{k}R_{m-k}\left(x\right)=\left(x-b\right)^{k}\left(x-c\right)^{j}R_{m-k-j}\left(x\right). \end{equation} И так можно было бы продолжать до тех пор, пока не закончится $m$, но есть одно возможное препятствие.
Корень полинома с вещественными коэффициентами может быть и комплексным числом (простой пример – $x^{2}+1$). Но это не помешает нам вынести за скобки множители другого типа. Пусть число $\delta+i\gamma$ - корень полинома с вещественными коэффициентами \[ P_{m}\left(\delta+i\gamma\right)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}\left(\delta+i\gamma\right)^{k}=0. \] Возьмём сопряжённое от обеих частей. Напомню, что сопряжённое к вещественному числу – само это число, так что $\bar{0}=0$ и $\bar{a}_{k}=a_{k}$; сопряжённое к сумме – сумма сопряжённых; сопряжённое к произведению - произведение сопряжённых, а значит, $\overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}$. \[ \overline{\sum_{k=0}^{m}a_{k}\left(\delta+i\gamma\right)^{k}}=\sum_{k=0}^{m}\overline{a_{k}}\overline{\left(\delta+i\gamma\right)^{k}}=\sum_{k=0}^{m}a_{k}\overline{\left(\delta+i\gamma\right)}^{k}=\sum_{k=0}^{m}a_{k}\left(\delta-i\gamma\right)^{k}=P_{m}\left(\delta-i\gamma\right)=0, \] то есть $\delta-i\gamma$ – тоже корень того же полинома. Вывод такой: у полинома с вещественными коэффициентами комплексные корни входят сопряжёнными парами.
Итак, $\delta+i\gamma$ и $\delta-i\gamma$ – корни $P_{m}\left(x\right)$. Вынесем за скобки и перемножим соответствующие этим корням множители: \[ P_{m}\left(x\right)=\left(x-\delta-i\gamma\right)\left(x-\delta+i\gamma\right)R_{m-2}\left(x\right)=\left[\left(x-\delta\right)^{2}-\left(i\gamma\right)^{2}\right]R_{m-2}\left(x\right)=\left(x^{2}-2x\delta+\delta^{2}+\gamma^{2}\right)R_{m-2}\left(x\right)= \] а потом будем продолжать то же действие до его дальнейшей невозможности: \begin{equation} =\left(x^{2}-2x\delta+\delta^{2}+\gamma^{2}\right)^{2}R_{m-4}\left(x\right)=\dots=\left(x^{2}-2x\delta+\delta^{2}+\gamma^{2}\right)^{q}R_{m-2q}\left(x\right). \end{equation} Заметим, что выражение $x^{2}-2x\delta+\delta^{2}+\gamma^{2}\equiv x^{2}+\alpha x+\beta$ - уже вещественное, причём полином. Это второй тип полиномиальных множителей, после $\left(x-b\right)$, которые мы можем вынести из полинома.
Таким образом, полином $P_{m}\left(x\right)$ можно разложить в виде \begin{equation} P_{m}\left(x\right)=a_{m}\left(x-b_{1}\right)^{p_{1}}\dots\left(x-b_{i}\right)^{p_{i}}\left(x^{2}+\alpha_{1}x+\beta_{1}\right)^{q_{1}}\dots\left(x^{2}+\alpha_{j}x+\beta_{j}\right)^{q_{j}}, \end{equation} причём \begin{equation} p_{1}+\dots+p_{i}+2\left(q_{1}+\dots+q_{j}\right)=m. \end{equation} Свободное слагаемое в полиноме $P_{m}\left(x\right)$ равно \[ a_{0}=P_{m}\left(0\right)=a_{m}\left(-b_{1}\right)^{p_{1}}\dots\left(-b_{i}\right)^{p_{i}}\beta_{1}^{q_{1}}\dots\beta_{j}^{q_{j}}, \] так что корни следует искать среди делителей $a_{0}$.
Пример: разложить на множители степеней 1 и 2 \[ P=x^{6}-64 \]
В прошлый раз были найдены корни шестой степени числа 64, которыми мы и воспользуемся. Их шесть разных, следовательно, кратность каждого не может быть больше 1. Значит, \[ x^{6}-64=\left(x-w_{0}\right)\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{2}\right)\left(x-w_{3}\right)\left(x-w_{4}\right)\left(x-w_{5}\right)= \] Мы нашли, что $w_{5}=\bar{w}_{1}$, $w_{4}=\bar{w}_{2}$, а $w_{1}$ и $w_{3}$ – вещественные числа. Сгруппируем скобки с сопряжёнными корнями \[ =\left(x-w_{0}\right)\left(x-w_{3}\right)\left[\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{5}\right)\right]\left[\left(x-w_{2}\right)\left(x-w_{4}\right)\right]= \] \[ =\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left[\left(x-1-i\sqrt{3}\right)\left(x-1+i\sqrt{3}\right)\right]\left[\left(x+1-i\sqrt{3}\right)\left(x+1+i\sqrt{3}\right)\right]= \] Применим формулу для разности квадратов \[ =\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left[\left(x-1\right)^{2}-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}\right]\left[\left(x+1\right)^{2}-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}\right]= \] \[ =\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left[\left(x-1\right)^{2}+3\right]\left[\left(x+1\right)^{2}+3\right]= \] и окончательно раскроем скобки \[ =\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}-2x+4\right)\left(x^{2}+2x+4\right). \] Вот так к разложению полиномов применяются комплексные числа.
Пример: разложить на множители степеней 1 и 2 \[ P=x^{6}-6x^{4}-4x^{3}+9x^{2}+12x+4 \] среди делителей $a_{0}=4$ находим число 2 и начинаем делить $P$ на $x-2$. Сначала получаем \[ P=\left(x-2\right)\left(x^{5}+2x^{4}-2x^{3}-8x^{2}-7x-2\right). \] Но 2 – корень и частного тоже, поэтому продолжаем делить: \[ P=\left(x-2\right)^{2}\left(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1\right). \] В последнем частном узнаём биномиальное разложение $\left(x+1\right)^{4}$. Значит, \[ P=\left(x-2\right)^{2}\left(x+1\right)^{4}. \]
Задание: разложить на множители степеней 1 и 2:
а) $x^{6}-15x^{4}+8x^{3}+51x^{2}-72x+27$
б) $x^{5}-6x^{4}+16x^{3}-24x^{2}+20x-8$
в) $x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-15x-4$
г) $x^{6}-2x^{5}-x^{4}-2x^{3}+5x^{2}+4x+4$
