Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида \begin{equation} M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy=0,\label{uvp} \end{equation} если существует такая функция $F\left(x,y\right)$, что \[ dF=M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy. \]
Тогда решение может быть записано в виде \begin{equation} F\left(x,y\right)=C,\label{re6} \end{equation} но перед этим надо определить, существует ли функция $F\left(x,y\right)$, и если да – то чему она равна. Если она существует, то \[ F'_{x}=M,\qquad F'_{y}=N. \] Однако, \[ F''_{xy}=F''_{yx}, \] а значит, \begin{equation} M'_{y}=N'_{x}.\label{usl} \end{equation} Доказывается и обратное: при выполнении (\ref{usl}) существует функция $F\left(x,y\right)$.
Убедившись, что функция $F\left(x,y\right)$ существует в принципе, можно начинать её искать. Проинтегрируем М: \begin{equation} F\left(x,y\right)=\int Mdx=\mathcal{F}\left(x,y\right)+\varphi\left(y\right),\label{Fis} \end{equation} где $\mathcal{F}\left(x,y\right)$ – первообразная, а $\varphi\left(y\right)$ - произвольная функция от $y$. Тогда \[ F'_{y}=\mathcal{F}'_{y}+\varphi'\left(y\right)=N. \] Отсюда получим \[ \varphi'\left(y\right)=N-\mathcal{F}'_{y},\qquad\varphi\left(y\right)=\int\left(N-\mathcal{F}'_{y}\right)dy. \] Полученное отсюда $\varphi\left(y\right)$ подставим в (\ref{Fis}), а $F\left(x,y\right)$ оттуда – в решение (\ref{re6}).
Пример: № 187 \[ \left(2-9xy^{2}\right)xdx+\left(4y^{2}-6x^{3}\right)ydy=0 \] \[ M=\left(2-9xy^{2}\right)x=2x-9x^{2}y^{2},\qquad M'_{y}=-18x^{2}y \] \[ N=\left(4y^{2}-6x^{3}\right)y=4y^{3}-6x^{3}y,\qquad N'_{x}=-18x^{2}y \] Условие (\ref{usl}) выполняется. \[ F=\int\left(2x-9x^{2}y^{2}\right)dx=x^{2}-3x^{3}y^{2}+\varphi\left(y\right) \] \[ F'_{y}=-6x^{3}y+\varphi'\left(y\right)=N=4y^{3}-6x^{3}y. \] Отсюда \[ \varphi'\left(y\right)=4y^{3}-6x^{3}y+6x^{3}y=4y^{3}, \] \[ \varphi\left(y\right)=y^{4}+C_{1} \] Подставим в $F$: \[ F=x^{2}-3x^{3}y^{2}+\varphi\left(y\right)=x^{2}-3x^{3}y^{2}+y^{4}+C_{1} \] Решение будет таким: \[ F=x^{2}-3x^{3}y^{2}+y^{4}+C_{1}=C_{2}, \] \[ x^{2}-3x^{3}y^{2}+y^{4}=C_{2}-C_{1}\equiv C. \] Ответ: $x^{2}-3x^{3}y^{2}+y^{4}=C$.
Замечу, что ничто не мешает делать в обратном порядке: сначала интегрировать по $y$, потом по $x$.
Задание: № 186, 189, 192.
Попадаются однако и уравнения типа (\ref{uvp}), для которых не выполняются условия (\ref{usl}). Теоретически можно превратить такое уравнение в настоящее уравнение в полных дифференциалах, домножив его на так называемый интегрирующий множитель $\mu\left(x,y\right)$: \[ \left(M\mu\right)'_{y}=\left(N\mu\right)'_{x}, \] \[ M'_{y}\mu+M\mu'_{y}=N'_{x}\mu+N\mu'_{x}. \] Но на практике его ещё нужно откуда-то взять. Это относительно просто, когда он зависит от одной переменной, например $\mu=\mu\left(x\right)$: \[ M'_{y}\mu=N'_{x}\mu+N\mu'_{x}, \] \[ N\mu'_{x}=M'_{y}\mu-N'_{x}\mu, \] \[ \frac{\mu'_{x}}{\mu}=\frac{M'_{y}-N'_{x}}{N}; \] тут левая часть зависит только от $x$, значит и правая должна быть функцией от $x$. Если это так, то дальше можно интегрировать: \[ \ln\left|\mu\right|=\int\frac{M'_{y}-N'_{x}}{N}dx. \] Аналогично $\mu=\mu\left(y\right)$: \[ M'_{y}\mu+M\mu'_{y}=N'_{x}\mu \] \begin{equation} \frac{\mu'_{y}}{\mu}=\frac{N'_{x}-M'_{y}}{M}=-\frac{M'_{y}-N'_{x}}{M}\label{muyis} \end{equation} \[ \ln\left|\mu\right|=-\int\frac{M'_{y}-N'_{x}}{M}dy \]
Пример: № 203 \[ y\left(x+y\right)dx+\left(xy+1\right)dy=0 \] \[ M=y\left(x+y\right)=xy+y^{2}, \] \[ N=xy+1, \] \[ M'_{y}-N'_{x}=x+2y-y=x+y\neq0, \] и условия (\ref{usl}) не выполняются. Но выражение из (\ref{muyis}) \[ \frac{M'_{y}-N'_{x}}{M}=\frac{x+y}{y\left(x+y\right)}=\frac{1}{y} \] будет функцией только от $y$, значит, (\ref{muyis}) можно применять: \[ \frac{\mu'_{y}}{\mu}=-\frac{M'_{y}-N'_{x}}{M}=-\frac{1}{y}, \] \[ \ln\left|\mu\right|=-\int\frac{1}{y}dy=-\ln\left|y\right|+\tilde{C}_{1}, \] \[ \left|\mu\right|=\frac{e^{\tilde{C}_{1}}}{\left|y\right|}=\left|\frac{e^{\tilde{C}_{1}}}{y}\right|,\qquad\mu=\frac{\pm e^{\tilde{C}_{1}}}{y}=\frac{C_{1}}{y}. \] Пусть $C_{1}=1$, тогда $\mu=\frac{1}{y}$, а исходное уравнение превратится в \[ \left(x+y\right)dx+\left(x+\frac{1}{y}\right)dy=0. \] Для него (\ref{usl}) уже выполнено: \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(x+y\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(x+\frac{1}{y}\right)=1; \] уравнение стало уравнением в полных дифференциалах, и его можно решать обычным для таких случаев образом: \[ F=\int\left(x+y\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+yx+\varphi\left(y\right), \] \[ F'_{y}=x+\varphi'\left(y\right)=x+\frac{1}{y}, \] \[ \varphi'\left(y\right)=\frac{1}{y},\qquad\varphi\left(y\right)=\ln\left|y\right|+C_{2}, \] \[ F=\frac{x^{2}}{2}+yx+\ln\left|y\right|+C_{2}, \] \[ \frac{x^{2}}{2}+yx+\ln\left|y\right|=C. \] Но не всегда всё так легко. Иногда приходится собирать полный дифференциал из подручных материалов, используя общие представления о дифференциалах. Например, формулы вроде \[ xdy+ydx=d\left(xy\right),\quad xdx+ydy=\frac{1}{2}d\left(x^{2}+y^{2}\right), \] \[ \frac{dx}{x}=d\ln\left|x\right|,\quad xdy-ydx=x^{2}\frac{xdy-ydx}{x^{2}}=x^{2}d\frac{y}{x}, \] и так далее.
Пример: № 196 \[ \left(x^{2}+y^{2}+y\right)dx-xdy=0 \] \[ M=x^{2}+y^{2}+y, \] \[ N=-x. \] Для этого уравнения \[ M'_{y}-N'_{x}=2y+1-\left(-1\right)=2\left(y+1\right)\neq0, \] а значит, оно не в полных дифференциалах, и выражения \[ \frac{M'_{y}-N'_{x}}{N}=\frac{2\left(y+1\right)}{-x},\qquad\frac{M'_{y}-N'_{x}}{M}=2\frac{y+1}{x^{2}+y^{2}+y}, \] оба не являются функциями одной переменной, значит и $\mu$ легко найти не получится. Преобразуем уравнение: \[ \left(x^{2}+y^{2}\right)dx+ydx-xdy=0, \] \[ \left(x^{2}+y^{2}\right)dx+y^{2}\frac{ydx-xdy}{y^{2}}=0, \] \[ \left(x^{2}+y^{2}\right)dx+y^{2}d\frac{x}{y}=0. \] Поделим обе части на $y^{2}$: \[ \left[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+1\right]dx+d\frac{x}{y}=0, \] заменим $z=\frac{x}{y}$ \[ \left(z^{2}+1\right)dx+dz=0, \] \[ dx+\frac{dz}{z^{2}+1}=0, \] проинтегрируем \[ x+\mathrm{arctg}\,z=C, \] и наконец заменим обратно \[ x+\mathrm{arctg}\,\frac{x}{y}=C. \]
Задание: № 195, 197, 199, 200, 205, 206.
