Определение. Функцию, областью определения которой является множество $N$ натуральных чисел, называют последовательностью. Значения такой функции обозначают $x_{n}$ ($a_{n}$, $b_{n}$ и т. п.) и называют элементами последовательности, число $n$ называют номером элемента последовательности $x_{n}$.
Итак, если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие число $x_{n}$, то говорят, что задана числовая последовательность $\left\{ x_{n}\right\} $.
Для записи самой последовательности используют обозначения $\left\{ x_{n}\right\} $ или $x_{1}$, $x_{2}$, . . . ,$x_{n}$, . . . ; $n\in\mathbb{N}$.
Примером последовательности может служить арифметическая прогрессия, для которой $a_{n}=a_{1}+d\left(n-1\right)$, или геометрическая прогрессия, где $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$.
Последовательность $x_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, называется ограниченной снизу, если существует такое число $C$, что для всех $n\in\mathbb{N}$ верно неравенство $x_{n}\geqslant C$. Последовательность $x_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для всех $n\in\mathbb{N}$ верно неравенство $x_{n}\leqslant C$. Последовательность $x_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последнее равносильно тому, что существует такое число $C$, что для всех $n\in\mathbb{N}$ верно неравенство $\left|x_{n}\right|\leqslant C$.
Например, последовательность $x_{n}=n^{2}$ ограничена снизу: $n^{2} > 0$. Последовательность $x_{n}=\left(-1\right)^{n}$ ограничена сверху и снизу: $-2 < \left(-1\right)^{n} < 2$.
Последовательность $x_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, называется возрастающей, если $x_{n+1} > x_{n}$ и убывающей, если $x_{n+1} < x_{n}$.
Определение. Число $a$ называется пределом последовательности $x_{n}$, если для любого, сколь угодно малого, числа $\varepsilon > 0$ найдётся такой номер $N\left(\varepsilon\right)$, что все значения $x_{n}$, у которых номер $n > N\left(\varepsilon\right)$, удовлетворяют неравенству: $\left|x_{n}-a\right| < \varepsilon$. При этом говорят, что последовательность сходится к числу $a$, и пишут \[ \lim_{n\to\infty}x_{n}=a. \] Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Пусть, например, $x_{n}=\frac{1}{n^{\alpha}}$ ($\alpha > 0$). Для любого положительного числа $\varepsilon$ можно вычислить $\varepsilon^{-\frac{1}{\alpha}}$ и выбрать $N > \varepsilon^{-\frac{1}{\alpha}}$. Если теперь взять любое $n > N$, то \[ n > \varepsilon^{-\frac{1}{\alpha}} \] отрицательная степень – убывающая функция, разворачивающая знак неравенства: \[ n^{-\alpha} < \varepsilon, \] преобразуем левую часть: \[ \left|\frac{1}{n^{\alpha}}-0\right| < \varepsilon, \] и переобозначим обратно: \[ \left|x_{n}-0\right| < \varepsilon. \] Итак, для всякого положительного числа $\varepsilon$ действительно есть такое $N$ (мы его предъявили), начиная с которого будет выполняться неравенство выше; значит, 0 есть предел этой последовательности по определению: \begin{equation} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0.\label{step} \end{equation}
Возьмём теперь $x_{n}=q^{n}$ ($0 < q < 1$). Выберем $N > \log_{q}\varepsilon$. Тогда если $n > N$, то \[ n > \log_{q}\varepsilon \] логарифм по основанию, меньшему единицы, убывает, знак неравенства меняется: \[ q^{n} < \varepsilon, \] \[ \left|q^{n}-0\right| < \varepsilon, \] \begin{equation} \lim_{n\to\infty}q^{n}=0.\label{exp} \end{equation} В дальнейшем мы очень редко будем получать пределы последовательностей из определения, используя вместо этого свойства, перечисляемые дальше; но эти два результата сами по себе нам ещё очень пригодятся.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 0. Последовательность, составленная из одного числа $x_{n}=a$, имеет предел $a$.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.
Последовательность $x_{n}$ называется стремящейся к бесконечности, если для любого числа $E$ найдётся такой номер $N\left(E\right)$, что все значения $x_{n}$, у которых номер $n > N\left(E\right)$, удовлетворяют неравенству: $x_{n} > E$. В этом случае пишут \[ \lim_{n\to\infty}x_{n}=\infty. \]
Последовательность $x_{n}$ называется стремящейся к минус бесконечности, если для любого числа $E$ найдётся такой номер $N\left(E\right)$, что все значения $x_{n}$, у которых номер $n > N\left(E\right)$, удовлетворяют неравенству: $x_{n} < E$. В этом случае пишут \[ \lim_{n\to\infty}x_{n}=-\infty. \]
Есть (и часто встречается) ещё смешанное определение, не позволяющее различить последние два случая: Последовательность $x_{n}$ называется бесконечно большой, если для любого числа $E$ найдётся такой номер $N\left(E\right)$, что все значения $x_{n}$, у которых номер $n > N\left(E\right)$, удовлетворяют неравенству: $\left|x_{n}\right| > E$. Это тоже обозначается как $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty$, что приводит к путанице. Лично я использования этого определения стараюсь избегать, но если попадётся – не удивляйтесь, и такое бывает.
Свойство 1. Если \[ \lim_{n\to\infty}x_{n}=\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_{n}}=0. \]
Теорема 3.
1) Если существует $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}$, то для любого числа $\alpha$ существует и $\lim\limits_{n\to\infty}\alpha x_{n}$, при этом \[ \lim_{n\to\infty}\alpha x_{n}=\alpha\lim_{n\to\infty}x_{n}. \]
2) Если существуют $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}$ и $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}$, то
а) существует $\lim\limits_{n\to\infty}\left(x_{n}\pm y_{n}\right)$, при этом \begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty}\left(x_{n}\pm y_{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\pm\lim\limits_{n\to\infty}y_{n};\label{limsum} \end{equation}
б) существует $\lim\limits_{n\to\infty}\left(x_{n}y_{n}\right)$, при этом \begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty}\left(x_{n}y_{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}y_{n};\label{limpr} \end{equation}
в) если $y_{n}\neq0$ и $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}\neq0$, существует $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}$ и \begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}}{\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}}.\label{limdr} \end{equation}
Если и $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=0$, и $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=0$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}$ называют неопределённостью типа $\frac{0}{0}$. Аналогично определяются и неопределённости типа $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$. При работе с такими неопределённостями теорему 3 использовать нельзя, сначала эту неопределённость, как говорят, нужно раскрыть.
Теорема 4. (теорема о двух милиционерах) Если существуют $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=a$, и для всех $n$, начиная с некоторого, справедливо $x_{n}\leqslant y_{n}\leqslant z_{n}$, то $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}$ тоже существует и $\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}$.
Теорема 5. (О произведении ограниченной последовательности на бесконечно малую)
Если последовательность $\left\{ x_{n}\right\} $ бесконечно малая, а последовательность $\left\{ y_{n}\right\} $ ограниченная, то их произведение $\left\{ x_{n}y_{n}\right\} $ является бесконечно малой последовательностью.
Пример: Демидович № 47 \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)= \] преобразуем выражение внутри предела: \[ =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n-1}^{2}-\sqrt{n}^{2}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1-n}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}. \] Докажем, что полученный предел даёт 0. Если составить последовательность из нулей, то по нулевой теореме $\lim\limits_{n\to\infty}0=0$. По доказанному выше (\ref{step}), так как $\frac{1}{2} > 0$, \[ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/2}}=0. \] Но \[ \sqrt{n-1}+\sqrt{n} > \sqrt{n}, \] \[ 0 < \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}, \] причём $\lim\limits_{n\to\infty}0=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$, а отсюда по теореме о двух милиционерах \[ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=0. \] Вернёмся к исходному пределу: \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)=-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=-0=0, \] что и планировалось доказать.
Пример: Демидович № 53 \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+\dots+\frac{\left(n-1\right)^{2}}{n^{3}}\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}= \] по формуле из № 2 (мы её доказывали) и по теореме 3 ч.1) \[ =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}\frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{6}=\frac{1}{6}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{n^{3}}=\frac{1}{6}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}\frac{2n-1}{n}=\frac{1}{6}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right). \] Дальше рассмотрим отдельно части последнего выражения и его пределы. Согласно (\ref{step}), так как $1\gt 0$, \[ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1}}=0. \] По теоремам 0 и 3 ч.2 п. а) \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \] Аналогично, \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)=2. \] Тогда по теореме 3 ч.2 п. б) \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)=1\cdot2=2. \] Сопоставим собранные факты: \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+\dots+\frac{\left(n-1\right)^{2}}{n^{3}}\right]=\frac{1}{6}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{6}2=\frac{1}{3}. \]
Задание: № 46, 49, 50, 51, 48, 54, 56.
