Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

21.12.2009

Даишев, Никитин №127

Filed under: ММФ — Shine @ 11:30 пп
Циллиндр с радиусом основания $ R$ и высотою $ h$ имеет во всё время опыта температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную 0 , а температура верхнего основания есть определённая функция от $ r$ . Найти стационарную температуру внутренних точек циллиндра.

Распределение температуры в непрерывных средах описывается уравнением теплопроводности, которое имеет вид $ U_t=a^2\Delta U$ . В стационарной системе температура не меняется со временем ($ U_t=0$ ), и уравнение теплопроводности превращается в уравнение Лапласа $ \Delta U=0$ . В циллиндрических координатах оно имеет вид

$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial U}{\... ...r^2}\frac{\partial^2 U}{\partial\varphi^2} +\frac{\partial^2U}{\partial z^2}=0 $

Учитывая осесимметричность системы, будем считать температуру независимой от координаты $ \varphi$ :

$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial U}{\partial r}\right) +\frac{\partial^2U}{\partial z^2}=0$ (1)

Будем искать частные решения этого уравнения в виде $ U(r,z)=\mathcal{R}(r)U(z)$ . Тогда

$\displaystyle \frac{Z}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial \mat... ...\partial r}\right) =\frac{1}{Z}\frac{\partial^2Z}{\partial z^2}=\lambda=const, $

и уравнение в частных производных (1) распадётся на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

$\displaystyle \mathcal{R}''+\frac{1}{r}\mathcal{R}'-\lambda \mathcal{R}=0$ (2)

$\displaystyle Z''=-\lambda Z,$ (3)

а граничные условия, допускающие нетривиальные решения, таковы: $ \mathcal{R}(R)=0$ , $ Z(0)=0$ , $ U\vert _{z=h}=f(r)$ . Для того, чтобы решить уравнение (2), заменим $ r=\rho/\sqrt{-\lambda}$ :

$\displaystyle \mathcal{R}''+\frac{1}{r}\mathcal{R}' + \mathcal{R}=0. $

Это уравнение есть уравнение Бесселя нулевого порядка с непрерывными решениями вида

$\displaystyle \mathcal{R}=\mathcal{R}_0J_0(\rho)= \mathcal{R}_0\sum\limits_{k=0... ...k}= \mathcal{R}_0\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k r^{2k}}{(k!)^24^k} $

При $ \lambda>0$ каждое слагаемое этой суммы положительно, решение не имеет нулей и, следовательно, не удовлетворяет граничному условию $ \mathcal{R}(R)=0$ . При $ \lambda<0$ условие $ \mathcal{R}(R)=\mathcal{R}_0J_0(\sqrt{-\lambda}r)$ приводит к $ \sqrt{-\lambda}r=\mu^0_k$ , значит, существует дискретный набор годных значений $ \lambda$ и, соответственно, независимых решений уравнения (2):

$\displaystyle \lambda_k=-\left( \frac{\mu^0_k}{R} \right)^2\quad \Longrightarrow \quad \mathcal{R}_n=J_0\left( \mu^0_k \frac{r}{R}\right).$ (4)

Теперь рассмотрим уравнение (3). С учётом (4) оно превращается в такое уравнение на отдельные $ Z_k$ :

$\displaystyle Z''_k=\left( \frac{\mu^0_k}{R} \right)^2Z, $

откуда $ Z_k=C^1_k\exp\left( \mu^0_k \dfrac{z}{R}\right)+C^2_k\exp\left( -\mu^0_k \dfrac{z}{R}\right)$ . Учтём граничное условие $ Z(0)=0$ : обозначая $ C_k=C^1_k/2=-C^2_k/2$ , получим:

$\displaystyle Z_k=C_k\sh\left( \mu^0_k \dfrac{z}{R}\right).$ (5)

Общее решение исходного уравнения (1), с учётом (5) и (4), запишется так:

$\displaystyle U=\sum\limits_{k=1}^{\infty} Z_kR_k= \sum\limits_{k=1}^{\infty} C_k\sh\left( \mu^0_k \dfrac{z}{R}\right) J_0\left( \mu^0_k \frac{r}{R}\right)$ (6)

Коэффициенты $ C_k$ находятся из последнего неучтённого граничного условия: $ U\vert _{z=h}=f(r)$ :

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty} C_k\sh\left( \mu^0_k \dfrac{h}{R}\right) J_0\left( \mu^0_k \frac{r}{R}\right)=f(r) $

$\displaystyle C_k\sh\left( \mu^0_k \dfrac{h}{R}\right)= \frac{\int\limits_0^R f... ... J_1^2( \mu^0_k)}\int\limits_0^R f(r) J_0\left( \mu^0_k \frac{r}{R}\right)rdr. $

Следовательно,

$\displaystyle U=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2}{R^2 J_1^2( \mu^0_k)}\int\li... ... }{\sh\left( \mu^0_k \dfrac{h}{R}\right)}J_0\left( \mu^0_k \frac{r}{R}\right). $

3 комментария »

  1. Тимур Юрьевич, если не трудно, разместите пожалуйста решение задачи 132. с полиномами Лежандра.

    Комментарий by Маргарита Яковлева — 22.12.2011 @ 10:23 пп

  2. Теперь уже трудно, Маргарита Филипповна. Очень много всего делать надо.

    Комментарий by Shine — 23.12.2011 @ 9:18 дп

  3. ну хотя бы нахождение коэффициентов, ибо с ними больше всего возникает проблем. с ответом в методичке никак не сходится мой ответ. по разному пробовала.

    Комментарий by Маргарита Яковлева — 23.12.2011 @ 7:14 пп

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников