Восстановление дифференцируемой функции « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

12.10.2013

Восстановление дифференцируемой функции

Filed under: ТФКП — Shine @ 3:59 пп

Ещё одно пояснение для гр. 620а.

Условия Коши-Римана позволяют восстановить дифференцируемую функцию
по её действительной или мнимой части, если известно её значение в какой-либо
точке. Например, решить такую задачу:

Восстановить функцию $f (z)$ по действительной части

u = --x---, f (π) = 1. x2 + y2 π

Действительная часть функции $f (z) = u+ iv$ нам уже дана, и осталось найти мнимую часть. Сделаем это, пользуясь тем, что части $u$ и $v$ функции $f(z)$ удовлетворяют условиям

{ ′ ′ ux′ = vy,′ uy = − vx.

(1)

Зная $u$ , получим

{ ′ y2−x2 vy = (x2+y2)2, v′x = (x22+xyy2)2.

Интегрируя первое, получим общий вид $v$ , который далее будем уточнять:

y v = −--2---2 + φ (x ). x + y

Подставим $v$ во второе уравнение в (1)

---2xy---+ φ′(x) = --2xy---, φ′(x) = 0, φ(x) = C, (x2 + y2)2 (x2 + y2)2

v = −-2-y-2-+ C. x + y

Отныне у нас есть всё необходимое для сборки $f(z)$ :

( ) ---x--- ---y--- ---x--- --iy---- - f (z) = u+iv = x2 +y2 +i − x2 +y2 + C = x2 + y2− x2 + y2+iC = z z+iC.

Осталось определить $C$ из значения функции в точке , указанного в условиях задачи:

f (π) = 1-+ iC =-1, iC = 0, C = 0, π π

откуда окончательно

1 f (z) = z.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников