Ти ж мене пiдманула « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

08.11.2013

Ти ж мене пiдманула

Filed under: пепел,ТФКП — Shine @ 2:18 пп

Запутали вы меня, тов. Ханафиева и тов. Мубаракшин. Впрочем, я сам хорош, если вам это удалось.

Так вот, cos $( 1) z$ ограничен областью [−1;1] только для действительного z. Но z может стремиться к нулю не только по действительной оси. Если z приближается к нулю сверху или снизу, то z = iy, и тогда

( ) ( ) ( ) ( ) lim cos 1 = lim cos -1 = lim 1 ei 1iy-+ e−i 1iy = lim 1 e1y + e− 1y . z→0 z y→0 iy y→0 2 y→0 2

В зависимости от того, снизу или сверху стремится z к нулю, одно из слагаемых в скобке стремится к нулю, а другое к бесконечности, и так быстро, что это не исправит никакое z^k. Например, пусть y > 0: t = 1∕y

( ) k ( ) k lim zk cos 1 = lim i-yk e1y + e− 1y = i- lim (t−ket + t−ke− t), t = 1. z→0 z y→+0 2 2 t→∞ y

На первом курсе в курсе мат.анализа доказывается, что при ∀k

k lim t-= 0, t→ ∞ et

cледовательно предел от обратного выражения бесконечен; в то же время предел

lim t− ke−t = 0, t→ ∞

что в совокупности приводит к тому, что

|| ( 1)|| ||ik||| ( )| || lim zkcos - || = ||-||||lt→im∞ t−ket + t−ke−t || = ∞. z→ ↓0 z 2

Значит, если умножить cos $( ) 1 z$ на любой полином, то z₀ = 0 не получится найти ни предел самой функции (который должен получаться одинаковым при стремлении к нулю с любой стороны), ни предел, нужный для полюса. Следовательно эта точка будет существенно особой.