Доказать, что при $n\geqslant3$
\[
n^{n+1}>\left(n+1\right)^{n}.
\]
Вначале докажем утверждение из №7, но в более строгом варианте. Пусть
$x>-1$, $x\neq0$ и $n>1$. Тогда
\begin{equation}
\left(1+x\right)^{n}>1+nx.\label{eq:n7}
\end{equation}
Вначале проверим это утверждение для минимального натурального $n$,
большего единицы: $n=2$. Если $x\neq0$, то $x^{2}>0$ и
\[
\left(1+x\right)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x;
\]
неравенство (\ref{eq:n7}) выполняется. Положим теперь, что при
$n=k$ верно
\begin{equation}
\left(1+x\right)^{k}>1+kx.\label{eq:k7}
\end{equation}
Исходя из этого докажем, что
\[
\left(1+x\right)^{k+1}>1+\left(k+1\right)x.
\]
Так как $x^{2}>0$, то при натуральных (а значит, и положительных)
$k$ и $kx^{2}>0$. Зная это, умножим обе части считающегося верным
неравенства (\ref{eq:k7}) на $\left(1+x\right)$:
\[
\left(1+x\right)^{k}\left(1+x\right)>\left(1+kx\right)\left(1+x\right),
\]
откуда
\[
\left(1+x\right)^{k+1}>\left(1+kx\right)\left(1+x\right).
\]
Но
\[
\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^{2}=1+\left(k+1\right)x+kx^{2}>1+\left(k+1\right)x.
\]
Итак,
\[
\left(1+x\right)^{k+1}>\left(1+kx\right)\left(1+x\right)>1+\left(k+1\right)x,
\]
что и требовалось доказать.
Используя это важное утверждение, докажем основное неравенство: при
$n\geqslant3$
\[
n^{n+1}>\left(n+1\right)^{n}.
\]
Начнём, как обычно, с наименьшего возможного значения $n$. Сравним
для $n=3$:
\[
3^{3+1}\vee\left(3+1\right)^{3},
\]
\[
3^{4}\vee4^{3},
\]
\[
81\vee64,
\]
\[
81>64,
\]
т.е., как и требовалось,
\[
3^{3+1}>\left(3+1\right)^{3}.
\]
Теперь докажем, что из верности при $n=k$ неравенства
\[
k^{k+1}>\left(k+1\right)^{k}
\]
следует, при $n=k+1$, верность неравенства
\[
\left(k+1\right)^{k+2}>\left(k+2\right)^{k+1}.
\]
Заметим, что так как при натуральных $k$ имеет место $-1<-\frac{1}{k+2}\neq0$,
выполняются условия неравенства (\ref{eq:n7}), а следовательно
\[
\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k}=\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{k}>1-\frac{k}{k+2}=\frac{k+2}{k+2}-\frac{k}{k+2}=\frac{2}{k+2},
\]
или, сокращённо,
\[
\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k}>\frac{2}{k+2}.
\]
Тогда, умножая обе части этого неравенства на $\left(k+2\right)^{k}$,
получим
\begin{equation}
\left(k+1\right)^{k}>2\left(k+2\right)^{k-1}.\label{eq:st1}
\end{equation}
С другой стороны,
\[
2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}=2\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{2}>2\left(1-\frac{2}{k+2}\right).
\]
Нетрудно видеть, что выражение в правой части возрастает вместе с
$k$, но уже при $k=3$
\[
2\left(1-\frac{2}{k+2}\right)=2\left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{6}{5}>1,
\]
и значит, при $k\geqslant3$
\begin{equation}
2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}>2\left(1-\frac{2}{k+2}\right)>1.\label{eq:st2}
\end{equation}
Используя сначала неравенство (\ref{eq:st1}), затем неравенство (\ref{eq:st2}),
получим
\[
\left(k+1\right)^{k+2}=\left(k+1\right)^{k}\left(k+1\right)^{2}>2\left(k+2\right)^{k-1}\left(k+1\right)^{2}=2\frac{\left(k+1\right)^{2}}{\left(k+2\right)^{2}}\left(k+2\right)^{k+1}>\left(k+2\right)^{k+1},
\]
т.е.
\[
\left(k+1\right)^{k+2}>\left(k+2\right)^{k+1},
\]
что и требовалось доказать для шага индукции.
