Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Правильный вариант решения, которое я писал на доске для гр. 661. В аудитории
я где-то ошибся, теперь трудно сказать где.

$$\intop_{1/e}^{e}\left|\ln x\right|dx=\intop_{1/e}^{1}\left|\ln x\right|dx+\intop_{1}^{e}\left|\ln x\right|dx=-\intop_{1/e}^{1}\ln xdx+\intop_{1}^{e}\ln xdx=$$ Заменим в первом интеграле $x=\frac{1}{t}$, а во втором -- $x=t$. $$=-\intop_{e}^{1}\ln\frac{1}{t}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt+\intop_{1}^{e}\ln tdt=\intop_{1}^{e}\ln t\frac{1}{t^{2}}dt+\intop_{1}^{e}\ln tdt=\intop_{1}^{e}\ln t\left(1+\frac{1}{t^{2}}\right)dt=$$ Теперь полученный единый интеграл возьмём по частям: $$=\intop_{1}^{e}\ln t\left(t-\frac{1}{t}\right)'dt=\left.\ln t\left(t-\frac{1}{t}\right)\right|_{1}^{e}-\intop_{1}^{e}\frac{1}{t}\left(t-\frac{1}{t}\right)dt=1\cdot\left(e-\frac{1}{e}\right)-0-\intop_{1}^{e}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)dt=$$ $$=\left(e-\frac{1}{e}\right)-\left.\left(t+\frac{1}{t}\right)\right|_{1}^{e}=\left(e-\frac{1}{e}\right)-\left(e+\frac{1}{e}\right)+\left(1+\frac{1}{1}\right)=2-2e^{-1}.$$ В целом, такое решение не проще, чем взятие двух интегралов по частям - но значительно веселее.