r=r(φ),φ∈[α;β] Вспомним, что {x=r(φ)cosφ,y=r(φ)sinφ. Заметим, что декартовы координаты x и y оказываются функциями одного параметра — φ. Но тогда мы можем воспользоваться формулой (???) (2) (заменено t=φ): L=β∫α√(dxdφ)2+(dydφ)2dφ. Вычислим нужные выражения {dxdφ=r′cosφ−rsinφ,dydφ=r′sinφ+rcosφ, (dxdφ)2+(dydφ)2=(r′cosφ−rsinφ)2+(r′sinφ+rcosφ)2= =\left(r'^{2}\cos^{2}\varphi-\bcancel{2r'\cos\varphi r\sin\varphi}+r^{2}\sin^{2}\varphi\right)+\left(r'^{2}\sin^{2}\varphi+\bcancel{2r'\sin\varphi r\cos\varphi}+r^{2}\cos^{2}\varphi\right)= =r'^{2}+r^{2}; и вернёмся к интегралу длины: L=\intop_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^{2}}d\varphi=\intop_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r'^{2}+r^{2}}d\varphi. Пример: №2446
r=a\varphi,\qquad0\leqslant\varphi\leqslant2\pi. L=\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}+\left(a\varphi\right)^{2}}d\varphi=a\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\varphi^{2}}d\varphi=a\left.\left(\frac{1}{2}\ln\left|\varphi+\sqrt{\varphi^{2}+1}\right|+\frac{1}{2}\varphi\sqrt{\varphi^{2}+1}\right)\right|_{0}^{2\pi}= =\frac{a}{2}\ln\left|2\pi+\sqrt{4\pi^{2}+1}\right|+a\pi\sqrt{4\pi^{2}+1}. Решить самостоятельно: №2448, 2449, 2452.
