r=r(φ),φ∈[α;β] Вспомним, что {x=r(φ)cosφ,y=r(φ)sinφ. Заметим, что декартовы координаты x и y оказываются функциями одного параметра — φ. Но тогда мы можем воспользоваться формулой (???) (2) (заменено t=φ): L=β∫α√(dxdφ)2+(dydφ)2dφ. Вычислим нужные выражения {dxdφ=r′cosφ−rsinφ,dydφ=r′sinφ+rcosφ, (dxdφ)2+(dydφ)2=(r′cosφ−rsinφ)2+(r′sinφ+rcosφ)2= =(r′2cos2φ−2r′cosφrsinφ+r2sin2φ)+(r′2sin2φ+2r′sinφrcosφ+r2cos2φ)= =r′2+r2; и вернёмся к интегралу длины: L=β∫α√(dxdφ)2+(dydφ)2dφ=β∫α√r′2+r2dφ. Пример: №2446
r=aφ,0⩽φ⩽2π. L=2π∫0√a2+(aφ)2dφ=a2π∫0√1+φ2dφ=a(12ln|φ+√φ2+1|+12φ√φ2+1)|2π0= =a2ln|2π+√4π2+1|+aπ√4π2+1. Решить самостоятельно: №2448, 2449, 2452.