\[ r=r\left(\varphi\right),\qquad\varphi\in\left[\alpha;\beta\right] \] Вспомним, что \[ \left\{ \begin{array}{c} x=r\left(\varphi\right)\cos\varphi,\\ y=r\left(\varphi\right)\sin\varphi. \end{array}\right. \] Заметим, что декартовы координаты $x$ и $y$ оказываются функциями одного параметра — $\varphi$. Но тогда мы можем воспользоваться формулой (\ref{Lt}) (2) (заменено $t=\varphi$): \[ L=\intop_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^{2}}d\varphi. \] Вычислим нужные выражения \[ \left\{ \begin{array}{c} \frac{dx}{d\varphi}=r'\cos\varphi-r\sin\varphi,\\ \frac{dy}{d\varphi}=r'\sin\varphi+r\cos\varphi, \end{array}\right. \] \[ \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^{2}=\left(r'\cos\varphi-r\sin\varphi\right)^{2}+\left(r'\sin\varphi+r\cos\varphi\right)^{2}= \] \[ =\left(r'^{2}\cos^{2}\varphi-\bcancel{2r'\cos\varphi r\sin\varphi}+r^{2}\sin^{2}\varphi\right)+\left(r'^{2}\sin^{2}\varphi+\bcancel{2r'\sin\varphi r\cos\varphi}+r^{2}\cos^{2}\varphi\right)= \] \[ =r'^{2}+r^{2}; \] и вернёмся к интегралу длины: \[ L=\intop_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^{2}}d\varphi=\intop_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r'^{2}+r^{2}}d\varphi. \] Пример: №2446
\[ r=a\varphi,\qquad0\leqslant\varphi\leqslant2\pi. \] \[ L=\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}+\left(a\varphi\right)^{2}}d\varphi=a\intop_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\varphi^{2}}d\varphi=a\left.\left(\frac{1}{2}\ln\left|\varphi+\sqrt{\varphi^{2}+1}\right|+\frac{1}{2}\varphi\sqrt{\varphi^{2}+1}\right)\right|_{0}^{2\pi}= \] \[ =\frac{a}{2}\ln\left|2\pi+\sqrt{4\pi^{2}+1}\right|+a\pi\sqrt{4\pi^{2}+1}. \] Решить самостоятельно: №2448, 2449, 2452.
