Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Заменить $y\left(x\right)$ на $u\left(t\right)$ в уравнении $$\begin{equation} \left(1-x^{2}\right)^{2}y''=-y,\label{ur1} \end{equation}$$ если $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x=\mathrm{th}\,t,\\ y=\frac{u}{\mathrm{ch}\,t}. \end{array}\right.\label{zam} \end{equation}$$

Для краткости будем пользоваться обозначениями $$y'\equiv\frac{dy}{dx},\qquad u'\equiv\frac{du}{dt}.$$ Продифференцируем по $t$ оба уравнения из ($\ref{zam}$): $$\begin{equation} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}\,t},\label{xt} \end{equation}$$ $$\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{u'}{\mathrm{ch}\,t}-\frac{u}{\mathrm{ch}^{2}\,t}\mathrm{sh}\,t.$$ С учётом ($\ref{xt}$), $$y'=\mathrm{ch}^{2}\,t\left(\frac{u'}{\mathrm{ch}\,t}-\frac{u}{\mathrm{ch}^{2}\,t}\mathrm{sh}\,t\right)=u'\mathrm{ch}\,t-u\mathrm{sh}\,t.$$ Эту формулу снова продифференцируем по $t$: $$\frac{dy'}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(u'\mathrm{ch}\,t-u\mathrm{sh}\,t\right)=u''\mathrm{ch}\,t+u'\mathrm{sh}\,t-u'\mathrm{sh}\,t-u\mathrm{ch}\,t=\left(u''-u\right)\mathrm{ch}\,t,$$ $$y''=\left(u''-u\right)\mathrm{ch}^{3}\,t.$$ Полученную вторую производную, вместе с ($\ref{zam}$), подставим в ($\ref{ur1}$): $$\left(1-\mathrm{th}^{2}\,t\right)^{2}\left(u''-u\right)\mathrm{ch}^{3}\,t=-\frac{u}{\mathrm{ch}\,t}.$$ Из <<основного гиперболического тождества>> следует, что $$1-\mathrm{th}^{2}\,t=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}\,t},$$ воспользовавшись чем, упростим $$\frac{1}{\mathrm{ch}\,t}\left(u''-u\right)=-\frac{u}{\mathrm{ch}\,t},$$ $$u''-u=-u,$$ $$\boxed{u''=0.}$$