Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

24.10.2010

Филиппов №827

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 12:15 пп
Решить систему:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \dot x=y-5\cos t \\ \dot y=2x+y. \\ \end{array}\right. \end{displaymath}

Систему эту можно представить в виде $ \dot {\vec X}=A\vec X+\vec F$ , где

\begin{displaymath} \vec X= \left( \begin{array}{r} x \\ y \end{array}\right) ,... ...t)= \left( \begin{array}{r} -5 \\ 0 \end{array}\right)\cos t. \end{displaymath}

Исследование матрицы $ A$ даёт

\begin{displaymath} \lambda_1=2,\;\lambda_2=-1,\quad\vec v_2= \left( \begin{arra... ...c v_{-1}= \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right). \end{displaymath}

Следовательно, столбец $ \vec X_0$ , удовлетворяющий системе $ \dot {\vec X}_0=A\vec X_0$ , запишется так:

\begin{displaymath} \vec X_0=C_1 \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}\rig... ...C_2 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right)e^{-t}. \end{displaymath}

$ \vec F$ вполне имеет вид

\begin{displaymath} \vec F= \left[ \left( \begin{array}{r} P_m^{1}(t) \\ P_m^{2... ...Q_m^{2}(t) \end{array}\right)\sin \beta t \right]e^{\alpha t}, \end{displaymath}

где $ \alpha=0$ , $ \beta=1$ ; $ Q^1=Q^2=0$ , $ P^1=-5$ , $ P^2=0$ ; $ m=0$ . Число $ \alpha+i\beta=i$ не является корнем характеристического уравнения, значит $ s=0$ . Частное решение системы неоднородных уравнений будем искать в виде

\begin{displaymath} \vec X_1= \left[ \left( \begin{array}{r} S_{m+s}^{1}(t) \\ ... ...s t+ \left( \begin{array}{r} c \\ d \end{array}\right)\sin t. \end{displaymath}

Подставляя такой $ \dot {\vec X}_1$ в систему, получим:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} c\,\cos t-a\,\sin t=d\,\sin t+b\,\c... ...sin t+a\,\cos t\right)+d\,\sin t+b\,\cos t. \end{array}\right. \end{displaymath}

При $ t=0$ и $ t=\pi/2$ :

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} c=b-5 \\ d=b+2\,a \\ -a=d \\ -b=d+2\,c. \end{array}\right. \end{displaymath}

Решая эту систему, получим: $ a=-1 , b=3 , c=-2 , d=1$ . Значит,

\begin{displaymath} \vec X_1= \left( \begin{array}{r} -2\,\sin t-\cos t \\ \sin t+3\,\cos t \end{array}\right) \end{displaymath}

Для записи ответа учтём, что $ \vec X=\vec X_1+\vec X_1$ :

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x=e^{2\,t}\,{\it C_1}+e^ {- t }\,{\... ...C_1}-e^ {- t }\,{\it C_2}+3\,\cos t+\sin t. \end{array}\right. \end{displaymath}

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников