Я совершенно неправильно объяснил эту тему. Каюсь, грешен.
Боковая поверхность конуса высоты
h и радиуса
r получается через
плоскую развёртку в часть круга (рис.1,
AB=h,
AD=r,
BD=l).
|
|
рис. 1
|
рис. 2
|
Этот круг имеет радиус, равный
l (рис.2); сама боковая поверхность
на нём занимает часть, пропорциональную доле угла развёртки (составляющего
2πrl) от полного оборота:
Sc=Sok=πl2(2πrl12π)=πlr=π√r2+h2r=π√1+(hr)2r2
Боковая поверхность
ΔS усечённого конуса высоты
Δh
будет равна разности площадей боковых поверхностей конусов, внешнего
и внутреннего (на рис.1
AB=h1,
AD=r1,
BC=h2,
CF=r2).
В силу подобия
h1r1=h2r2=h2−h1r2−r1=ΔhΔr.
Тогда площадь
ΔS=S2−S1=π√1+(h2r2)2r22−π√1+(h1r1)2r21=π√1+(ΔhΔr)2(r22−r21)=π√1+(ΔhΔr)2(r2−r1)(r2+r1).
Боковая поверхность
ΔS усечённого конуса с осью
x, радиусы
которого задаются функцией
y(x):
r1=y(x),r2=y(x+Δx),,Δr=ΔyΔh=Δx
y(x)>0
ΔS=π√1+(ΔxΔy)2Δy[y(x)+y(x+Δx)]=π√(Δy)2+(Δx)2[y(x)+y(x+Δx)]=
=π√(ΔyΔx)2+1[y(x)+y(x+Δx)]Δx.
Перейдём теперь к нахождению площади тела вращения графика функции
y(x) вокруг оси
x. Пусть
x лежит от
a до
b.
Разобъём отрезок от
a до
b на отрезки длиной
Δxk=xk−xk−1,
через концы этих отрезков проведём перпендикулярные к оси
x плоскости
и соединим границы сечений коническими поверхностями (рис.3). Полученные
поверхности будут боковыми поверхностями усечённых конусов, чьи площади
ΔSk будут задаваться формулой (
1).

Сумма площадей
ΔSk образует площадь поверхности, состоящей из участков
конусов и приближающей гладкую поверхность вращения графика функции
y(x) (подобно тому, как ломаная приближала сам график
при нахождении его длины)
SN=N∑k=1ΔSk=N∑k=1π√(ΔykΔxk)2+1[y(xk−1)+y(xk)]Δxk.
Предел при
N→∞ и
maxΔxk→0 этой площади называется
площадью поверхности вращения:
S=limN→∞SN=b∫adSdxdx,
dSdx=limΔx→0ΔSΔx=limΔx→0π√(ΔyΔx)2+1[y(x)+y(x+Δx)]=2πy√(y′)2+1,
S=2πb∫ay√(y′)2+1dx.
В свете вышесказанного задача №2486 решается так:
y=x√xa=x3/2√a
(y′)2=(32x1/2√a)2=94xa
S=2πa∫0y√(y′)2+1dx=2πa∫0x3/2√a√94xa+1dx
√xa=t,
x3/2=a3/2t3,
x=at2,
dx=2atdt:
S=2πa∫0x3/2√a√94xa+1dx=2π1∫0a3/2t3√a√94at2a+12atdt=4πa21∫0√94t2+1t4dt,
32t=s t=23s dt=23ds
S=4πa21∫0√94t2+1t4dt=4πa23/2∫0√s2+1(23s)423ds=2735πa23/2∫0√s2+1s4ds=
=835arcsinh(32)πa2+28√1381πa2=835ln|32+√(32)2+1|πa2+28√1381πa2.