Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

10.03.2018

Объяснения по поводу площади поверхностей вращения и новое решение №2486

Filed under: мат. ан. сем. 2,пепел,Решения — Shine @ 4:11 пп

Я совершенно неправильно объяснил эту тему. Каюсь, грешен.

Боковая поверхность конуса высоты h и радиуса r получается через плоскую развёртку в часть круга (рис.1, AB=h, AD=r, BD=l).

рис. 1

рис. 2

Этот круг имеет радиус, равный l (рис.2); сама боковая поверхность на нём занимает часть, пропорциональную доле угла развёртки (составляющего 2πrl) от полного оборота: Sc=Sok=πl2(2πrl12π)=πlr=πr2+h2r=π1+(hr)2r2 Боковая поверхность ΔS усечённого конуса высоты Δh будет равна разности площадей боковых поверхностей конусов, внешнего и внутреннего (на рис.1 AB=h1, AD=r1, BC=h2, CF=r2). В силу подобия h1r1=h2r2=h2h1r2r1=ΔhΔr. Тогда площадь ΔS=S2S1=π1+(h2r2)2r22π1+(h1r1)2r21=π1+(ΔhΔr)2(r22r21)=π1+(ΔhΔr)2(r2r1)(r2+r1). Боковая поверхность ΔS усечённого конуса с осью x, радиусы которого задаются функцией y(x): r1=y(x),r2=y(x+Δx),,Δr=ΔyΔh=Δx y(x)>0 ΔS=π1+(ΔxΔy)2Δy[y(x)+y(x+Δx)]=π(Δy)2+(Δx)2[y(x)+y(x+Δx)]= =π(ΔyΔx)2+1[y(x)+y(x+Δx)]Δx. Перейдём теперь к нахождению площади тела вращения графика функции y(x) вокруг оси x. Пусть x лежит от a до b. Разобъём отрезок от a до b на отрезки длиной Δxk=xkxk1, через концы этих отрезков проведём перпендикулярные к оси x плоскости и соединим границы сечений коническими поверхностями (рис.3). Полученные поверхности будут боковыми поверхностями усечённых конусов, чьи площади ΔSk будут задаваться формулой (1).

Сумма площадей ΔSk образует площадь поверхности, состоящей из участков конусов и приближающей гладкую поверхность вращения графика функции y(x) (подобно тому, как ломаная приближала сам график при нахождении его длины) SN=Nk=1ΔSk=Nk=1π(ΔykΔxk)2+1[y(xk1)+y(xk)]Δxk. Предел при N и maxΔxk0 этой площади называется площадью поверхности вращения: S=limNSN=badSdxdx, dSdx=limΔx0ΔSΔx=limΔx0π(ΔyΔx)2+1[y(x)+y(x+Δx)]=2πy(y)2+1, S=2πbay(y)2+1dx. В свете вышесказанного задача №2486 решается так: y=xxa=x3/2a (y)2=(32x1/2a)2=94xa S=2πa0y(y)2+1dx=2πa0x3/2a94xa+1dx xa=t, x3/2=a3/2t3, x=at2, dx=2atdt: S=2πa0x3/2a94xa+1dx=2π10a3/2t3a94at2a+12atdt=4πa21094t2+1t4dt, 32t=s t=23s dt=23ds S=4πa21094t2+1t4dt=4πa23/20s2+1(23s)423ds=2735πa23/20s2+1s4ds= =835arcsinh(32)πa2+281381πa2=835ln|32+(32)2+1|πa2+281381πa2.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников