Пусть $f$ -- функция многих переменных $f=f\left(y_{1},\dots,y_{n}\right)$, которые сами по себе зависят от переменных из другого набора $y_{k}=y_{k}\left(x_{1},\dots,x_{m}\right)$. Тогда частная производная $f$ по $x_{j}$ будет вычисляться по формуле \[ \frac{\partial f}{\partial y_{x_{j}}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_{k}}{\partial x_{j}}. \]
Например, производная функции $f\left(u,v,w\right)$ от функций $u\left(x,y,z\right)$, $v\left(x,y,z\right)$ и $w\left(x,y,z\right)$ по переменной $y$ будет такой: \[ f_{y}^{\prime}=f_{u}^{\prime}u_{y}^{\prime}+f_{v}^{\prime}v_{y}^{\prime}+f_{w}^{\prime}w_{y}^{\prime}. \] Не всегда переменные первой волны имеют какие-то буквы для своего обозначения - иногда в скобках через запятую пишут выражения, являющиеся аргументами функции. Тогда эти аргументы обозначаются просто номерами. Например, в №3285, где надо найти производные первого и второго порядка от \[ u=f\left(x,xy,xyz\right). \] Тут функция имеет три аргумента, которые зависят от независимых переменных $\left(x,y,z\right)$. Первые производные будут считаться так (тут, напомню, производная одной независимо): \[ u_{x}^{\prime}=f_{1}^{\prime}\frac{\partial x}{\partial x}+f_{2}^{\prime}\frac{\partial xy}{\partial x}+f_{3}^{\prime}\frac{\partial xyz}{\partial x}=f_{1}^{\prime}+yf_{2}^{\prime}+yzf_{3}^{\prime} \] \[ u_{y}^{\prime}=f_{1}^{\prime}\frac{\partial x}{\partial y}+f_{2}^{\prime}\frac{\partial xy}{\partial y}+f_{3}^{\prime}\frac{\partial xyz}{\partial y}=xf_{2}^{\prime}+xzf_{3}^{\prime} \] \[ u_{z}^{\prime}=f_{1}^{\prime}\frac{\partial x}{\partial z}+f_{2}^{\prime}\frac{\partial xy}{\partial z}+f_{3}^{\prime}\frac{\partial xyz}{\partial z}=xyf_{3}^{\prime} \] Слагаемых становится всё меньше, ибо производная одной независимой переменной по другой равна нулю. Например, $\left(xy\right)'_{z}=0$. Вычислим вторую производную $u_{xx}^{\prime\prime}$. Для этого сначала вспомним, что вторая производная по $x$ -- это первая производная по $x$ от первой производной по $x$, вспомним и подставим первую производную по $x$, и воспользуемся линейностью и независимостью переменных: \[ u_{xx}^{\prime\prime}=\left(u_{x}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}+yf_{2}^{\prime}+yzf_{3}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}+\left(yf_{2}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}+\left(yzf_{3}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}+yz\left(f_{3}^{\prime}\right)_{x}^{\prime} \] Производная $\left(f_{1}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}$ считается так же, как $f_{x}^{\prime}$, так как зависит от тех же аргументов: \[ \left(f_{1}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=f_{11}^{\prime\prime}+yf_{12}^{\prime\prime}+yzf_{13}^{\prime\prime}. \] Аналогично, \[ \left(f_{2}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=f_{21}^{\prime\prime}+yf_{22}^{\prime\prime}+yzf_{23}^{\prime\prime}, \] \[ \left(f_{3}^{\prime}\right)_{x}^{\prime}=f_{31}^{\prime\prime}+yf_{32}^{\prime\prime}+yzf_{33}^{\prime\prime}. \] Тогда, с учётом независимости производных от порядка дифференцирования, \[ u_{xx}^{\prime\prime}=\left(f_{11}^{\prime\prime}+yf_{12}^{\prime\prime}+yzf_{13}^{\prime\prime}\right)+y\left(f_{21}^{\prime\prime}+yf_{22}^{\prime\prime}+yzf_{23}^{\prime\prime}\right)+yz\left(f_{31}^{\prime\prime}+yf_{32}^{\prime\prime}+yzf_{33}^{\prime\prime}\right)= \] \[ =f_{11}^{\prime\prime}+y^{2}f_{22}^{\prime\prime}+y^{2}z^{2}f_{33}^{\prime\prime}+2yf_{12}^{\prime\prime}+2yzf_{13}^{\prime\prime}+2y^{2}zf_{23}^{\prime\prime}. \] Следующая производная (в ней придётся применять уже правило Лейбница): \[ u_{xy}^{\prime\prime}=\left(u_{x}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}+yf_{2}^{\prime}+yzf_{3}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}+\left(yf_{2}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}+z\left(yf_{3}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}= \] \[ =\left(f_{1}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}+\left[\left(y\right)_{y}^{\prime}f_{2}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}\right]+z\left[\left(y\right)_{y}^{\prime}f_{3}^{\prime}+y\left(f_{3}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}\right]=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}+f_{2}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}+zf_{3}^{\prime}+yz\left(f_{3}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}. \] \[ \left(f_{1}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}=xf_{12}^{\prime\prime}+xzf_{13}^{\prime\prime},\quad\left(f_{2}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}=xf_{22}^{\prime\prime}+xzf_{23}^{\prime\prime},\quad\left(f_{3}^{\prime}\right)_{y}^{\prime}=xf_{32}^{\prime\prime}+xzf_{33}^{\prime\prime}, \] \[ u_{xy}^{\prime\prime}=f_{2}^{\prime}+zf_{3}^{\prime}+\left(xf_{12}^{\prime\prime}+xzf_{13}^{\prime\prime}\right)+y\left(xf_{22}^{\prime\prime}+xzf_{23}^{\prime\prime}\right)+yz\left(xf_{32}^{\prime\prime}+xzf_{33}^{\prime\prime}\right)= \] \[ =f_{2}^{\prime}+zf_{3}^{\prime}+xyf_{22}^{\prime\prime}+xyz^{2}f_{33}^{\prime\prime}+xf_{12}^{\prime\prime}+xzf_{13}^{\prime\prime}+2xyzf_{23}^{\prime\prime}. \] И последняя с $x$: \[ u_{xz}^{\prime\prime}=\left(u_{x}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}+yf_{2}^{\prime}+yzf_{3}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+y\left(zf_{3}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+y\left[\left(z\right)_{z}^{\prime}f_{3}^{\prime}+z\left(f_{3}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}\right]= \] \[ =yf_{3}^{\prime}+\left(f_{1}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+y\left(f_{2}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}+yz\left(f_{3}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}. \] \[ \left(f_{1}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=xyf_{13}^{\prime\prime},\quad\left(f_{2}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=xyf_{23}^{\prime\prime},\quad\left(f_{3}^{\prime}\right)_{z}^{\prime}=xyf_{33}^{\prime\prime}, \] \[ u_{xz}^{\prime\prime}=yf_{3}^{\prime}+\left(xyf_{13}^{\prime\prime}\right)+y\left(xyf_{23}^{\prime\prime}\right)+yz\left(xyf_{33}^{\prime\prime}\right)=yf_{3}^{\prime}+xyf_{13}^{\prime\prime}+xy^{2}f_{23}^{\prime\prime}+xy^{2}zf_{33}^{\prime\prime}. \] Решите более простые №3283 и 3284, найдите производные в №3285 $u_{yx}^{\prime\prime}$, $u_{yy}^{\prime\prime}$, $u_{yz}^{\prime\prime}$.
Дифференциал сложной функции многих переменных вычисляется по известной формуле \[ df\left(y_{1},\dots,y_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}dy_{k}. \] Разница со случаем функции независимых переменных в том, что второй дифференциал независимой переменной уже равнялся нулю. Для зависимой, т.е. для функции других переменных, это уже не обязательно так: в общем случае \[ d^{2}f\left(y_{1},\dots,y_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n}d\left(\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\right)dy_{k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}d^{2}y_{k}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^{2}f}{\partial y_{k}\partial y_{j}}dy_{j}dy_{k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}d^{2}y_{k}, \] третий -- тоже считается с учётом вышесказанного, и так далее.
№3295 Найти полные дифференциалы первого и второго порядка сложной функции \[ u=f\left(\xi,\eta\right),\quad\xi=xy,\;\eta=\frac{x}{y}. \] Первого порядка: \[ du=f_{\xi}^{\prime}d\xi+f_{\eta}^{\prime}d\eta=f_{\xi}^{\prime}d\left(xy\right)+f_{\eta}^{\prime}d\left(\frac{x}{y}\right)=f_{\xi}^{\prime}\left(ydx+xdy\right)+f_{\eta}^{\prime}\left(\frac{dx}{y}+xd\frac{1}{y}\right)= \] \[ =f_{\xi}^{\prime}\left(ydx+xdy\right)+f_{\eta}^{\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right). \] Второго порядка: \[ d^{2}u=d\left(du\right)=d\left[f_{\xi}^{\prime}\left(ydx+xdy\right)+f_{\eta}^{\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)\right]= \] \[ =d\left(f_{\xi}^{\prime}\right)\left(ydx+xdy\right)+f_{\xi}^{\prime}d\left(ydx+xdy\right)+d\left(f_{\eta}^{\prime}\right)\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)+f_{\eta}^{\prime}d\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)= \] \[ =f_{\xi}^{\prime}\left(dydx+dxdy\right)+f_{\eta}^{\prime}\left(-\frac{dy}{y^{2}}dx-\frac{dx}{y^{2}}dy+2x\frac{dy}{y^{3}}dy\right)+ \] \[ +\left[f_{\xi\xi}^{\prime\prime}\left(ydx+xdy\right)+f_{\xi\eta}^{\prime\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)\right]\left(ydx+xdy\right)+\left[f_{\eta\xi}^{\prime\prime}\left(ydx+xdy\right)+f_{\eta\eta}^{\prime\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)\right]\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)= \] \[ =2f_{\xi}^{\prime}dxdy-2\frac{f_{\eta}^{\prime}}{y^{3}}\left[ydxdy-x\left(dy\right)^{2}\right]+ \] \[ +f_{\xi\xi}^{\prime\prime}\left(ydx+xdy\right)^{2}+2f_{\xi\eta}^{\prime\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)\left(ydx+xdy\right)+f_{\eta\eta}^{\prime\prime}\left(\frac{dx}{y}-\frac{x}{y^{2}}dy\right)^{2}. \] Сами решите №№ 3289, 3294, 3300.
Когда занятие закончится, нерешённые номера превратятся в тыкву в домашнее задание.
