Пусть f -- функция многих переменных f=f(y1,…,yn), которые сами по себе зависят от переменных из другого набора yk=yk(x1,…,xm). Тогда частная производная f по xj будет вычисляться по формуле ∂f∂yxj=n∑k=1∂f∂yk∂yk∂xj.
Например, производная функции f(u,v,w) от функций u(x,y,z), v(x,y,z) и w(x,y,z) по переменной y будет такой: f′y=f′uu′y+f′vv′y+f′ww′y. Не всегда переменные первой волны имеют какие-то буквы для своего обозначения - иногда в скобках через запятую пишут выражения, являющиеся аргументами функции. Тогда эти аргументы обозначаются просто номерами. Например, в №3285, где надо найти производные первого и второго порядка от u=f(x,xy,xyz). Тут функция имеет три аргумента, которые зависят от независимых переменных (x,y,z). Первые производные будут считаться так (тут, напомню, производная одной независимо): u′x=f′1∂x∂x+f′2∂xy∂x+f′3∂xyz∂x=f′1+yf′2+yzf′3 u′y=f′1∂x∂y+f′2∂xy∂y+f′3∂xyz∂y=xf′2+xzf′3 u′z=f′1∂x∂z+f′2∂xy∂z+f′3∂xyz∂z=xyf′3 Слагаемых становится всё меньше, ибо производная одной независимой переменной по другой равна нулю. Например, (xy)′z=0. Вычислим вторую производную u′′xx. Для этого сначала вспомним, что вторая производная по x -- это первая производная по x от первой производной по x, вспомним и подставим первую производную по x, и воспользуемся линейностью и независимостью переменных: u′′xx=(u′x)′x=(f′1+yf′2+yzf′3)′x=(f′1)′x+(yf′2)′x+(yzf′3)′x=(f′1)′x+y(f′2)′x+yz(f′3)′x Производная (f′1)′x считается так же, как f′x, так как зависит от тех же аргументов: (f′1)′x=f′′11+yf′′12+yzf′′13. Аналогично, (f′2)′x=f′′21+yf′′22+yzf′′23, (f′3)′x=f′′31+yf′′32+yzf′′33. Тогда, с учётом независимости производных от порядка дифференцирования, u′′xx=(f′′11+yf′′12+yzf′′13)+y(f′′21+yf′′22+yzf′′23)+yz(f′′31+yf′′32+yzf′′33)= =f′′11+y2f′′22+y2z2f′′33+2yf′′12+2yzf′′13+2y2zf′′23. Следующая производная (в ней придётся применять уже правило Лейбница): u′′xy=(u′x)′y=(f′1+yf′2+yzf′3)′y=(f′1)′y+(yf′2)′y+z(yf′3)′y= =(f′1)′y+[(y)′yf′2+y(f′2)′y]+z[(y)′yf′3+y(f′3)′y]=(f′1)′y+f′2+y(f′2)′y+zf′3+yz(f′3)′y. (f′1)′y=xf′′12+xzf′′13,(f′2)′y=xf′′22+xzf′′23,(f′3)′y=xf′′32+xzf′′33, u′′xy=f′2+zf′3+(xf′′12+xzf′′13)+y(xf′′22+xzf′′23)+yz(xf′′32+xzf′′33)= =f′2+zf′3+xyf′′22+xyz2f′′33+xf′′12+xzf′′13+2xyzf′′23. И последняя с x: u′′xz=(u′x)′z=(f′1+yf′2+yzf′3)′z=(f′1)′z+y(f′2)′z+y(zf′3)′z=(f′1)′z+y(f′2)′z+y[(z)′zf′3+z(f′3)′z]= =yf′3+(f′1)′z+y(f′2)′z+yz(f′3)′z. (f′1)′z=xyf′′13,(f′2)′z=xyf′′23,(f′3)′z=xyf′′33, u′′xz=yf′3+(xyf′′13)+y(xyf′′23)+yz(xyf′′33)=yf′3+xyf′′13+xy2f′′23+xy2zf′′33. Решите более простые №3283 и 3284, найдите производные в №3285 u′′yx, u′′yy, u′′yz.
Дифференциал сложной функции многих переменных вычисляется по известной формуле df(y1,…,yn)=n∑k=1∂f∂ykdyk. Разница со случаем функции независимых переменных в том, что второй дифференциал независимой переменной уже равнялся нулю. Для зависимой, т.е. для функции других переменных, это уже не обязательно так: в общем случае d2f(y1,…,yn)=n∑k=1d(∂f∂yk)dyk+n∑k=1∂f∂ykd2yk=n∑k=1n∑j=1∂2f∂yk∂yjdyjdyk+n∑k=1∂f∂ykd2yk, третий -- тоже считается с учётом вышесказанного, и так далее.
№3295 Найти полные дифференциалы первого и второго порядка сложной функции u=f(ξ,η),ξ=xy,η=xy. Первого порядка: du=f′ξdξ+f′ηdη=f′ξd(xy)+f′ηd(xy)=f′ξ(ydx+xdy)+f′η(dxy+xd1y)= =f′ξ(ydx+xdy)+f′η(dxy−xy2dy). Второго порядка: d2u=d(du)=d[f′ξ(ydx+xdy)+f′η(dxy−xy2dy)]= =d(f′ξ)(ydx+xdy)+f′ξd(ydx+xdy)+d(f′η)(dxy−xy2dy)+f′ηd(dxy−xy2dy)= =f′ξ(dydx+dxdy)+f′η(−dyy2dx−dxy2dy+2xdyy3dy)+ +[f′′ξξ(ydx+xdy)+f′′ξη(dxy−xy2dy)](ydx+xdy)+[f′′ηξ(ydx+xdy)+f′′ηη(dxy−xy2dy)](dxy−xy2dy)= =2f′ξdxdy−2f′ηy3[ydxdy−x(dy)2]+ +f′′ξξ(ydx+xdy)2+2f′′ξη(dxy−xy2dy)(ydx+xdy)+f′′ηη(dxy−xy2dy)2. Сами решите №№ 3289, 3294, 3300.
Когда занятие закончится, нерешённые номера превратятся в тыкву в домашнее задание.