Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

04.04.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 11:50, вт. 7.04.2020 и гр. 06-922 в 11:50 пн. 13.04.2020(Демидович № 3285, 3295)

Пусть f -- функция многих переменных f=f(y1,,yn), которые сами по себе зависят от переменных из другого набора yk=yk(x1,,xm). Тогда частная производная f по xj будет вычисляться по формуле fyxj=nk=1fykykxj.

Например, производная функции f(u,v,w) от функций u(x,y,z), v(x,y,z) и w(x,y,z) по переменной y будет такой: fy=fuuy+fvvy+fwwy. Не всегда переменные первой волны имеют какие-то буквы для своего обозначения - иногда в скобках через запятую пишут выражения, являющиеся аргументами функции. Тогда эти аргументы обозначаются просто номерами. Например, в №3285, где надо найти производные первого и второго порядка от u=f(x,xy,xyz). Тут функция имеет три аргумента, которые зависят от независимых переменных (x,y,z). Первые производные будут считаться так (тут, напомню, производная одной независимо): ux=f1xx+f2xyx+f3xyzx=f1+yf2+yzf3 uy=f1xy+f2xyy+f3xyzy=xf2+xzf3 uz=f1xz+f2xyz+f3xyzz=xyf3 Слагаемых становится всё меньше, ибо производная одной независимой переменной по другой равна нулю. Например, (xy)z=0. Вычислим вторую производную uxx. Для этого сначала вспомним, что вторая производная по x -- это первая производная по x от первой производной по x, вспомним и подставим первую производную по x, и воспользуемся линейностью и независимостью переменных: uxx=(ux)x=(f1+yf2+yzf3)x=(f1)x+(yf2)x+(yzf3)x=(f1)x+y(f2)x+yz(f3)x Производная (f1)x считается так же, как fx, так как зависит от тех же аргументов: (f1)x=f11+yf12+yzf13. Аналогично, (f2)x=f21+yf22+yzf23, (f3)x=f31+yf32+yzf33. Тогда, с учётом независимости производных от порядка дифференцирования, uxx=(f11+yf12+yzf13)+y(f21+yf22+yzf23)+yz(f31+yf32+yzf33)= =f11+y2f22+y2z2f33+2yf12+2yzf13+2y2zf23. Следующая производная (в ней придётся применять уже правило Лейбница): uxy=(ux)y=(f1+yf2+yzf3)y=(f1)y+(yf2)y+z(yf3)y= =(f1)y+[(y)yf2+y(f2)y]+z[(y)yf3+y(f3)y]=(f1)y+f2+y(f2)y+zf3+yz(f3)y. (f1)y=xf12+xzf13,(f2)y=xf22+xzf23,(f3)y=xf32+xzf33, uxy=f2+zf3+(xf12+xzf13)+y(xf22+xzf23)+yz(xf32+xzf33)= =f2+zf3+xyf22+xyz2f33+xf12+xzf13+2xyzf23. И последняя с x: uxz=(ux)z=(f1+yf2+yzf3)z=(f1)z+y(f2)z+y(zf3)z=(f1)z+y(f2)z+y[(z)zf3+z(f3)z]= =yf3+(f1)z+y(f2)z+yz(f3)z. (f1)z=xyf13,(f2)z=xyf23,(f3)z=xyf33, uxz=yf3+(xyf13)+y(xyf23)+yz(xyf33)=yf3+xyf13+xy2f23+xy2zf33. Решите более простые №3283 и 3284, найдите производные в №3285 uyx, uyy, uyz.

Дифференциал сложной функции многих переменных вычисляется по известной формуле df(y1,,yn)=nk=1fykdyk. Разница со случаем функции независимых переменных в том, что второй дифференциал независимой переменной уже равнялся нулю. Для зависимой, т.е. для функции других переменных, это уже не обязательно так: в общем случае d2f(y1,,yn)=nk=1d(fyk)dyk+nk=1fykd2yk=nk=1nj=12fykyjdyjdyk+nk=1fykd2yk, третий -- тоже считается с учётом вышесказанного, и так далее.

№3295 Найти полные дифференциалы первого и второго порядка сложной функции u=f(ξ,η),ξ=xy,η=xy. Первого порядка: du=fξdξ+fηdη=fξd(xy)+fηd(xy)=fξ(ydx+xdy)+fη(dxy+xd1y)= =fξ(ydx+xdy)+fη(dxyxy2dy). Второго порядка: d2u=d(du)=d[fξ(ydx+xdy)+fη(dxyxy2dy)]= =d(fξ)(ydx+xdy)+fξd(ydx+xdy)+d(fη)(dxyxy2dy)+fηd(dxyxy2dy)= =fξ(dydx+dxdy)+fη(dyy2dxdxy2dy+2xdyy3dy)+ +[fξξ(ydx+xdy)+fξη(dxyxy2dy)](ydx+xdy)+[fηξ(ydx+xdy)+fηη(dxyxy2dy)](dxyxy2dy)= =2fξdxdy2fηy3[ydxdyx(dy)2]+ +fξξ(ydx+xdy)2+2fξη(dxyxy2dy)(ydx+xdy)+fηη(dxyxy2dy)2. Сами решите №№ 3289, 3294, 3300.

Когда занятие закончится, нерешённые номера превратятся в тыкву в домашнее задание.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников