Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Зачёл всем, кто прислал, кроме тов. Мусина: тому поставил 60%.

А 177-е, если покороче и по-векторному, можно решить так:

Найти

$$\Delta\ln\frac{1}{r},\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$$
Сначала несколько вспомогательных вычислений:
$$\mathrm{grad}\,r^{2}=\mathrm{grad}\,\left(x^{2}+y^{2}\right)=2x\vec{i}+2y\vec{j}=2\vec{r}.$$
Отсюда, как градиент функции от скалярного поля, можно вычислить
$$\mathrm{grad}\,r=\mathrm{grad}\,\sqrt{r^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{r^{2}}}\mathrm{grad}\,r^{2}=\frac{1}{2r}2\vec{r}=\frac{\vec{r}}{r}.$$
Пользуясь этим, найдём
$$\mathrm{grad}\,\ln r=\frac{1}{r}\mathrm{grad}\,r=\frac{1}{r}\frac{\vec{r}}{r}=\frac{\vec{r}}{r^{2}},\qquad\mathrm{grad}\,\frac{1}{r^{2}}=-\frac{2}{r^{3}}\mathrm{grad}\,r=-\frac{2}{r^{3}}\frac{\vec{r}}{r}=-2\frac{\vec{r}}{r^{4}}.$$
Также
$$\mathrm{div}\,\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}=2.$$
И, наконец,
$$\Delta\ln\frac{1}{r}=\mathrm{div}\,\mathrm{grad}\,\ln\frac{1}{r}=-\mathrm{div}\,\mathrm{grad}\,\ln r=-\mathrm{div}\,\frac{\vec{r}}{r^{2}}=-\left(\mathrm{grad}\,\frac{1}{r^{2}}\cdot\vec{r}+\frac{1}{r^{2}}\mathrm{div}\,\vec{r}\right)=$$
$$=-\left(-2\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r^{4}}+\frac{1}{r^{2}}2\right)=-\left(-2\frac{r^{2}}{r^{4}}+\frac{1}{r^{2}}2\right)=0.$$
Поле, таким образом, является гармоническим, что и требовалось доказать.

Исправлено 9.04.2020. За найденные ошибки благодарность выносится тов. Толмачёвой Н.В.