Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^{2}+k^{2}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^{2}+k^{2}}-\pi n+\pi n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\sin\left(\pi\sqrt{n^{2}+k^{2}}-\pi n\right)=$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\sin\left(\pi\frac{n^{2}+k^{2}-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\sin\frac{\pi k^{2}}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n}$$ $$b_{n}=\sin\frac{\pi k^{2}}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n}$$ С ростом $n$ возрастает и стремится к бесконечности знаменатель $\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n$, числитель постоянен, значит, дробь в синусе убывает. Так как для достаточно больших $n$ (если $\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n > 2k^{2}$, для чего хватит $n > k^{2}$) эта дробь лежит в первой четверти, $b_{n}$ тоже будет монотонно убывать. Кроме того, $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n=\infty,$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi k^{2}}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n}=0,$$ $$\lim_{n\to\infty}\sin\frac{\pi k^{2}}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}+n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=0.$$ Так как $b_{n}$ убывает и стремится к нулю, исходный ряд сходится по Лейбницу.