Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

10.06.2011

Filed under: внешнее — Shine @ 3:04 дп

Согласно формуле Лейбница,

$\displaystyle \left(u(x)\cdot v(x)\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}. $

Как легко доказать методом матиндукции,

$\displaystyle \ln^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}. $

Следовательно,

$\displaystyle \left( (x^2+1)\ln x\right)^{(5)}= \sum\limits_{k=0}^5 C_5^k(x^2+1)^{(k)}\ln^{(5-k)}(x)= \sum\limits_{k=0}^2 C_5^k(x^2+1)^{(k)}\ln^{(5-k)}(x)= $

$\displaystyle =C_5^0(x^2+1)\ln^{(5)}(x)+ C_5^1(x^2+1)'\ln^{(4)}(x)+ C_5^2(x^2+1)''\ln^{(3)}(x)= $

$\displaystyle =1\cdot (x^2+1)\cdot\ln^{(5)}(x)+ 5\cdot 2x\cdot\ln^{(4)}(x)+ 10\cdot2\cdot\ln^{(3)}(x)= $

$\displaystyle =(x^2+1)\frac{4!}{x^5}- 5\cdot 2x\cdot\frac{3!}{x^4}+ 10\cdot2\cdot\frac{2!}{x^3}= $

$\displaystyle =(x^2+1)\frac{4!}{x^5}- 5\cdot 2x\cdot\frac{3!}{x^4}+ 10\cdot2\cdot\frac{2!}{x^3}= $

$\displaystyle =24\frac{x^2+1}{x^5}- \frac{60}{x^3}+ \frac{40}{x^3}= 24\frac{1}{x^3}+24\frac{1}{x^5} -\frac{20}{x^3}= \frac{4}{x^3}+ \frac{24}{x^5}. $

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников