Иногда приходится искать экстремаль функционала \[ J\left[y\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx, \] с закреплёнными границами, но не на множестве гладких (т.е. непрерывных вместе с производными) функций, как было до этого момента.
Примером такого отступления являются экстремали с одной угловой точкой. Пусть искомая экстремаль выходит из точки $A\left(x_{1},y_{1}\right)$, идёт к точке $M\left(x_{0},y_{0}\right)$, а от неё – к точке $B\left(x_{2},y_{2}\right)$. При этом оба звена этой ломаной – график функции из семейства решений уравнения Эйлера \[ F_{y}'-\frac{d}{dx}F_{y'}'=0, \] но в самой точке $M$ производная не обязана быть непрерывной; может происходить разрыв производной, что выглядит как излом графика. Такая экстремаль, по сути, составляется из двух экстремалей: первая – с правой подвижной границей (в точке $M$), вторая – с левой (там же). Поэтому вариация функционала раскладывается на две вариации функционалов с подвижными границами \[ \delta J\left[y\right]=\delta\intop_{x_{1}}^{x_{0}}F\left(x,y,y'\right)dx+\delta\intop_{x_{0}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx, \] вычисляемых по формуле, выведенной в прошлый раз: \[ \delta J\left[y\right]=\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\delta y_{2}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\delta y_{1}. \] Но в нынешнем случае закреплено всё, кроме $M\left(x_{0},y_{0}\right)$, так что для первой вариации в этой формуле $\delta x_{1}=0$, $\delta y_{1}=0$, $\delta x_{2}=\delta x_{0}$, $\delta y_{2}=\delta y_{0}$, а для второй – $\delta x_{1}=\delta x_{0}$, $\delta y_{1}=\delta y_{0}$, $\delta x_{2}=0$, $\delta y_{2}=0$. Следует также помнить, что в первой вариации к точке $M$ мы приближаемся слева, а во второй - справа, поэтому пределы в них будут браться с соответствующих сторон: \[ \delta J\left[y\right]=\delta\intop_{x_{1}}^{x_{0}}F\left(x,y,y'\right)dx+\delta\intop_{x_{0}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx= \] \[ =\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}\delta x_{0}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}\delta y_{0}+ \] \[ -\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}\delta x_{0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}\delta y_{0}= \] \[ =\left[\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}\right]\delta x_{0}+\left[\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}\right]\delta y_{0} \] В экстремали $\delta J\left[y\right]=0$, \[ \left[\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}\right]\delta x_{0}+\left[\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}\right]\delta y_{0}=0 \] Сама эта формула в Захарове фамилии не имеет, а вот все её следствия называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана.
1) Если точка $M\left(x_{0},y_{0}\right)$ движется свободно, её координаты, а значит и $\delta x_{0}$ и $\delta y_{0}$ независимы. По очереди полагая их равными нулю, получаем систему \[ \left\{ \begin{array}{l} \left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}=0\\ \left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}=0 \end{array}\right. \]
2) Если точка $M\left(x_{0},y_{0}\right)$ движется по графику функции $\varphi$, то $y_{0}=\varphi\left(x_{0}\right)$, $\delta y_{0}=\varphi'\delta x_{0}$, \[ \left[\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}\right]\delta x_{0}+\left[\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}\right]\varphi'\delta x_{0}=0, \] \[ \left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{0}+0}+\left[\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}-0}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{0}+0}\right]\varphi'=0, \] \[ \left.\left(F-F_{y'}'y'+\varphi'F_{y'}'\right)\right|_{x=x_{0}-0}-\left.\left(F-F_{y'}'y'+\varphi'F_{y'}'\right)\right|_{x=x_{0}+0}=0, \] \[ \left.\left[F+\left(\varphi'-y'\right)F_{y'}'\right]\right|_{x=x_{0}-0}=\left.\left[F+\left(\varphi'-y'\right)F_{y'}'\right]\right|_{x=x_{0}+0}. \]
Примеров приводить не буду, решение задач достаточно подробно разобрано в методичке Захарова.
Задание: решите (или, если не получится, разберите решения из методички) № 6.1 – 6.3
Последняя тема – это условный экстремум. В задачах этого типа к функционалу многих переменных \[ J\left[y_{1},\dots,y_{n}\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y_{1},y_{1}',\dots,y_{n},y_{n}'\right)dx, \] экстремаль которого надо найти, добавляются ещё и условия (\emph{условия связи}), которым должны удовлетворять функции $y_{1},\dots,y_{n}$. Эти условия бывают двух типов: обычные \[ \varphi_{j}\left(x,y_{1},y_{1}',\dots,y_{n},y_{n}'\right)=0,\quad j=1..m \] и интегральные, они же изопериметрические: \[ \intop_{x_{1}}^{x_{2}}\varphi_{j}\left(x,y_{1},y_{1}',\dots,y_{n},y_{n}'\right)dx=l_{j}=const,\quad j=1..m \] Для решения таких задач составляют вспомогательный функционал \[ J\left[y_{1},\dots,y_{n}\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}\left(F+\sum_{j=1}^{m}\lambda_{j}\varphi_{j}\right)dx, \] где в первом случае $\lambda_{j}$ – функции от $x$, а во втором - константы. Для этого функционала составляются уравнения Эйлера, их система дополняется уравнениями связи и решается относительно $y_{k}$.
По части разбора задач снова сошлюсь на Алексея Васильевича. Приведённые случаи рассматриваются у него в обратном порядке: сначала, начиная с №8.1 – изопериметрическая задача, затем, начиная с №8.8 – с обычными условиями. Решения этих номеров советую внимательно прочитать.
Задание: решите сами №8.2 и 8.9
