Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

31.05.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 11:50 в пн. 1.06.2020 (Демидович № 3887, 3890)

Помимо рядов, кусочно-непрерывную и интегрируемую функцию f(x) можно представить в виде интеграла Фурье f(x)=0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ, где a(λ)=1πf(ξ)cosλξdξ,b(λ)=1πf(ξ)sinλξdξ.

Пример: №3887 Представить в виде интеграла Фурье функцию f(x)={sinx,|x|π,0,|x|>π. Вычислим a(λ). Для этого разобьём область интегрирования на три части: a(λ)=1πf(ξ)cosλξdξ=1ππf(ξ)cosλξdξ+1πππf(ξ)cosλξdξ+1ππf(ξ)cosλξdξ= и так как подынтегральное выражение нечётно, а область интегрирования симметрична, =1πππsinξcosλξdξ=0. Теперь найдём b(λ): b(λ)=1πf(ξ)sinλξdξ=1πππsinξsinλξdξ=12πππ[cos(ξλξ)cos(ξ+λξ)]dξ= =12π[sin(ξλξ)ξλξsin(ξ+λξ)ξ+λξ]|ππ=1π[sin(πλπ)πλπsin(π+λπ)π+λπ]=1π2[11λ+11+λ]sin(λπ)= =2π2sin(λπ)1λ2. Подставим полученное в интеграл Фурье f(x)=0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ=2π20sin(λπ)1λ2sin(λx)dλ. №3890 Представить в виде интеграла Фурье функцию f(x)=eα|x|,α>0. Найдём b(λ). Подынтегральное выражение будет нечётно, и мы разобьём область интегрирования на две части: b(λ)=1πeα|ξ|sinλξdξ=1π0eα|ξ|sinλξdξ+1π0eα|ξ|sinλξdξ= а потом в первом интеграле заменим ξ=ζ, а во втором – ξ=ζ =1π0eα|ζ|sinλζdζ+1π0eα|ζ|sinλζdζ=0. Теперь найдём a(λ). Тут поступим как с b(λ), но получим, в силу чётности, другой результат: a(λ)=1πeα|ξ|cosλξdξ=1π0eα|ξ|cosλξdξ+1π0eα|ξ|cosλξdξ= заменим ξ=ζ и ξ=ζ =1π0eα|ζ|cosλζdζ+1π0eα|ζ|cosλζdζ=2π0eαζcosλζdζ. Отдельно вычислим интеграл. По частям получим 0eαζcosλζdζ=1α0(eαζ)cosλζdζ=1αeαζcosλζ|0+1α0eαζ(cosλζ)dζ=1αλα0eαζsinλζdζ= =1α+λα20(eαζ)sinλζdζ=1α+λα2eαζsinλζ|0+λα20eαζ(sinλζ)dζ=1α+λ2α20eαζcosλζdζ, то есть 0eαζcosλζdζ=1α+λ2α20eαζcosλζdζ. Перенесём слагаемое с интегралом влево и выразим интеграл α2λ2α20eαζcosλζdζ=1α,0eαζcosλζdζ=αα2λ2. Подставим интеграл в a(λ) a(λ)=2π0eαζcosλζdζ=2παα2λ2. Теперь подставим полученное в интеграл Фурье: f(x)=0[a(λ)cosλx+b(λ)sinλx]dλ=2απ0cosλxα2λ2dλ.

Задание: решить самим №3881, 3882, 3888, 3891.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников