Помимо рядов, кусочно-непрерывную и интегрируемую функцию $f\left(x\right)$ можно представить в виде интеграла Фурье \[ f\left(x\right)=\intop_{0}^{\infty}\left[a\left(\lambda\right)\cos\lambda x+b\left(\lambda\right)\sin\lambda x\right]d\lambda, \] где \[ a\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi,\qquad b\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\sin\lambda\xi\,d\xi. \]
Пример: №3887 Представить в виде интеграла Фурье функцию \[ f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{lc} \sin x, & \left|x\right|\leqslant\pi,\\ 0, & \left|x\right| > \pi. \end{array}\right. \] Вычислим $a\left(\lambda\right)$. Для этого разобьём область интегрирования на три части: \[ a\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{-\pi}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi+\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi+\frac{1}{\pi}\intop_{\pi}^{\infty}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi= \] и так как подынтегральное выражение нечётно, а область интегрирования симметрична, \[ =\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\xi\cos\lambda\xi\,d\xi=0. \] Теперь найдём $b\left(\lambda\right)$: \[ b\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\sin\lambda\xi\,d\xi=\frac{1}{\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\xi\sin\lambda\xi\,d\xi=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\pi}^{\pi}\left[\cos\left(\xi-\lambda\xi\right)-\cos\left(\xi+\lambda\xi\right)\right]\,d\xi= \] \[ =\frac{1}{2\pi}\left.\left[\frac{\sin\left(\xi-\lambda\xi\right)}{\xi-\lambda\xi}-\frac{\sin\left(\xi+\lambda\xi\right)}{\xi+\lambda\xi}\right]\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin\left(\pi-\lambda\pi\right)}{\pi-\lambda\pi}-\frac{\sin\left(\pi+\lambda\pi\right)}{\pi+\lambda\pi}\right]=\frac{1}{\pi^{2}}\left[\frac{1}{1-\lambda}+\frac{1}{1+\lambda}\right]\sin\left(\lambda\pi\right)= \] \[ =\frac{2}{\pi^{2}}\frac{\sin\left(\lambda\pi\right)}{1-\lambda^{2}}. \] Подставим полученное в интеграл Фурье \[ f\left(x\right)=\intop_{0}^{\infty}\left[a\left(\lambda\right)\cos\lambda x+b\left(\lambda\right)\sin\lambda x\right]d\lambda=\frac{2}{\pi^{2}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(\lambda\pi\right)}{1-\lambda^{2}}\sin\left(\lambda x\right)d\lambda. \] №3890 Представить в виде интеграла Фурье функцию \[ f\left(x\right)=e^{-\alpha\left|x\right|},\quad\alpha > 0. \] Найдём $b\left(\lambda\right)$. Подынтегральное выражение будет нечётно, и мы разобьём область интегрирования на две части: \[ b\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\sin\lambda\xi\,d\xi=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{0}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\sin\lambda\xi\,d\xi+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\sin\lambda\xi\,d\xi= \] а потом в первом интеграле заменим $\xi=-\zeta$, а во втором – $\xi=\zeta$ \[ =\frac{1}{\pi}\intop_{\infty}^{0}e^{-\alpha\left|\zeta\right|}\sin\lambda\zeta\,d\zeta+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\left|\zeta\right|}\sin\lambda\zeta\,d\zeta=0. \] Теперь найдём $a\left(\lambda\right)$. Тут поступим как с $b\left(\lambda\right)$, но получим, в силу чётности, другой результат: \[ a\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\cos\lambda\xi\,d\xi=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{0}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\cos\lambda\xi\,d\xi+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\left|\xi\right|}\cos\lambda\xi\,d\xi= \] заменим $\xi=-\zeta$ и $\xi=\zeta$ \[ =\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{0}e^{-\alpha\left|\zeta\right|}\cos\lambda\zeta\,d\zeta+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\left|\zeta\right|}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{2}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta. \] Отдельно вычислим интеграл. По частям получим \[ \intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=-\frac{1}{\alpha}\intop_{0}^{\infty}\left(e^{-\alpha\zeta}\right)'\cos\lambda\zeta\,d\zeta=-\frac{1}{\alpha}\left.e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{\alpha}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\left(\cos\lambda\zeta\right)'\,d\zeta=\frac{1}{\alpha}-\frac{\lambda}{\alpha}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\sin\lambda\zeta\,d\zeta= \] \[ =\frac{1}{\alpha}+\frac{\lambda}{\alpha^{2}}\intop_{0}^{\infty}\left(e^{-\alpha\zeta}\right)'\sin\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{1}{\alpha}+\frac{\lambda}{\alpha^{2}}\left.e^{-\alpha\zeta}\sin\lambda\zeta\right|_{0}^{\infty}+\frac{\lambda}{\alpha^{2}}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\left(\sin\lambda\zeta\right)'\,d\zeta=\frac{1}{\alpha}+\frac{\lambda^{2}}{\alpha^{2}}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta, \] то есть \[ \intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{1}{\alpha}+\frac{\lambda^{2}}{\alpha^{2}}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta. \] Перенесём слагаемое с интегралом влево и выразим интеграл \[ \frac{\alpha^{2}-\lambda^{2}}{\alpha^{2}}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{1}{\alpha},\qquad\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{\alpha}{\alpha^{2}-\lambda^{2}}. \] Подставим интеграл в $a\left(\lambda\right)$ \[ a\left(\lambda\right)=\frac{2}{\pi}\intop_{0}^{\infty}e^{-\alpha\zeta}\cos\lambda\zeta\,d\zeta=\frac{2}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^{2}-\lambda^{2}}. \] Теперь подставим полученное в интеграл Фурье: \[ f\left(x\right)=\intop_{0}^{\infty}\left[a\left(\lambda\right)\cos\lambda x+b\left(\lambda\right)\sin\lambda x\right]d\lambda=\frac{2\alpha}{\pi}\intop_{0}^{\infty}\frac{\cos\lambda x}{\alpha^{2}-\lambda^{2}}d\lambda. \]
Задание: решить самим №3881, 3882, 3888, 3891.
