Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

18.11.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-812 в 14:00 в ср. 18.11.2020 (Даишев, Никитин № 93 а), 83, 85)

Уравнению Бесселя y+1xy+(1ν2x2)y=0 удовлетворяют функции Бесселя: J±ν(x)=k=0(1)kΓ(k±ν+1)k!(x2)2k±ν.

Проверка формулы (1) из §8 νJν(x)xJν(x)=Jν+1(x) Если Jν(x)=k=0(1)kΓ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν, то Jν+1(x)=k=0(1)kΓ(k+ν+2)k!(x2)2k+ν+1, νxJν(x)=k=0(1)kν2Γ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν1, Jν(x)=k=0(1)k(2k+ν)2Γ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν1; тогда νJν(x)xJν(x)=k=0(1)k2Γ(k+ν+1)k![ν(2k+ν)](x2)2k+ν1=k=0(1)k+1kΓ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν1= k=j+1 =0+k=1(1)k+1Γ(k+ν+1)(k1)!(x2)2k+ν1=j=0(1)jΓ(j+ν+2)j!(x2)2j+ν+1Jν+1(x) Задание: Проверить формулу (2); непосредственной подстановкой убедиться в том, что функция J из второй формулы в §8 удовлетворяет уравнению Бесселя из первой формулы. Подсказка: уравнение Бесселя использовать в виде xddx(xddxy)+(x2ν2)y=0.

Сложим (а не вычтем, кстати) формулы (1) и (2) νJν(x)xJν(x)=Jν+1(x) νJν(x)x+Jν(x)=Jν1(x) и получим рекуррентную формулу 2νxJν(x)=Jν+1(x)+Jν1(x). № 93 а) выразить J2(x) через J0(x) и J1(x).

Подставляем в рекуррентную формулу ν=1 2xJ1(x)=J2(x)+J0(x) J2(x)=2xJ1(x)J0(x). Задание: № 93 в) с); № 82 методом матиндукции.

№ 83 Вычислить J12(x): J12(x)=k=0(1)kΓ(k+12+1)k!(x2)2k+12 Γ(k+12+1)=(k+12)Γ(k+12)=(k+12)(k12)Γ(k12)=(k+12)(k12)12Γ(12)= =Γ(12)kj=0(j+12)=πkj=0(2j+12)=πkj=1(2j+1)2k+1=πkj=1(2j+1)kj=1(2j)2k+1kj=1(2j)= =π(2k+1)!2k+12kk!=π(2k+1)!22k+1k! J12(x)=k=0(1)kπ(2k+1)!22k+1k!k!(x2)2k+12=(x2)12k=0(1)k22k+1π(2k+1)!x2k22k=2x2k=0(1)kπ(2k+1)!x2k= =2x21xπk=0(1)k(2k+1)!x2k+1=2πxsinx. Задание: № 84, 89, 90.

№ 85 Доказать: ddx[Jν(x)xν]=Jν+1(x)xν Начнём с формулы νJν(x)xJν(x)=Jν+1(x): νxν1Jν(x)xνJν(x)xνxν=Jν+1(x), (xν)Jν(x)Jν(x)xνxν=Jν+1(x), Jν(x)xν(xν)Jν(x)x2ν=Jν+1(x)xν, ddx[Jν(x)xν]=Jν+1(x)xν.

Задание: № 86, 87, 88.

Задание: № 95.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников