Уравнению Бесселя \[ y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}\right)y=0 \] удовлетворяют функции Бесселя: \[ J_{\pm\nu}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\Gamma\left(k\pm\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k\pm\nu}. \]
Проверка формулы (1) из §8 \[ \frac{\nu J_{\nu}\left(x\right)}{x}-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=J_{\nu+1}\left(x\right) \] Если \[ J_{\nu}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\Gamma\left(k+\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}, \] то \[ J_{\nu+1}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\Gamma\left(k+\nu+2\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu+1}, \] \[ \frac{\nu}{x}J_{\nu}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}\nu}{2\Gamma\left(k+\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}, \] \[ J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}\left(2k+\nu\right)}{2\Gamma\left(k+\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}; \] тогда \[ \frac{\nu J_{\nu}\left(x\right)}{x}-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2\Gamma\left(k+\nu+1\right)k!}\left[\nu-\left(2k+\nu\right)\right]\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}k}{\Gamma\left(k+\nu+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}= \] $k=j+1$ \[ =0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{\Gamma\left(k+\nu+1\right)\left(k-1\right)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu-1}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}}{\Gamma\left(j+\nu+2\right)j!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2j+\nu+1}\equiv J_{\nu+1}\left(x\right) \] Задание: Проверить формулу (2); непосредственной подстановкой убедиться в том, что функция J из второй формулы в §8 удовлетворяет уравнению Бесселя из первой формулы. Подсказка: уравнение Бесселя использовать в виде \[ x\frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}y\right)+\left(x^{2}-\nu^{2}\right)y=0. \]
Сложим (а не вычтем, кстати) формулы (1) и (2) \[ \frac{\nu J_{\nu}\left(x\right)}{x}-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=J_{\nu+1}\left(x\right) \] \[ \frac{\nu J_{\nu}\left(x\right)}{x}+J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=J_{\nu-1}\left(x\right) \] и получим рекуррентную формулу \[ \frac{2\nu}{x}J_{\nu}\left(x\right)=J_{\nu+1}\left(x\right)+J_{\nu-1}\left(x\right). \] № 93 а) выразить $J_{2}\left(x\right)$ через $J_{0}\left(x\right)$ и $J_{1}\left(x\right)$.
Подставляем в рекуррентную формулу $\nu=1$ \[ \frac{2}{x}J_{1}\left(x\right)=J_{2}\left(x\right)+J_{0}\left(x\right) \] \[ J_{2}\left(x\right)= \frac{2}{x}J_{1}\left(x\right)-J_{0}\left(x\right). \] Задание: № 93 в) с); № 82 методом матиндукции.
№ 83 Вычислить $J_{\frac{1}{2}}\left(x\right)$: \[ J_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\Gamma\left(k+\frac{1}{2}+1\right)k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\frac{1}{2}} \] \[ \Gamma\left(k+\frac{1}{2}+1\right)=\left(k+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)=\left(k+\frac{1}{2}\right)\left(k-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(k-\frac{1}{2}\right)=\left(k+\frac{1}{2}\right)\left(k-\frac{1}{2}\right)\dots\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)= \] \[ =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{j=0}^{k}\left(j+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\prod_{j=0}^{k}\left(\frac{2j+1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\frac{\prod_{j=1}^{k}\left(2j+1\right)}{2^{k+1}}=\sqrt{\pi}\frac{\prod_{j=1}^{k}\left(2j+1\right)\prod_{j=1}^{k}\left(2j\right)}{2^{k+1}\prod_{j=1}^{k}\left(2j\right)}= \] \[ =\sqrt{\pi}\frac{\left(2k+1\right)!}{2^{k+1}2^{k}k!}=\sqrt{\pi}\frac{\left(2k+1\right)!}{2^{2k+1}k!} \] \[ J_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\sqrt{\pi}\frac{\left(2k+1\right)!}{2^{2k+1}k!}k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\frac{1}{2}}=\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}2^{2k+1}}{\sqrt{\pi}\left(2k+1\right)!}\frac{x^{2k}}{2^{2k}}=2\sqrt{\frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\sqrt{\pi}\left(2k+1\right)!}x^{2k}= \] \[ =2\sqrt{\frac{x}{2}}\frac{1}{x\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}x^{2k+1}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x. \] Задание: № 84, 89, 90.
№ 85 Доказать: \[ \frac{d}{dx}\left[\frac{J_{\nu}\left(x\right)}{x^{\nu}}\right]=-\frac{J_{\nu+1}\left(x\right)}{x^{\nu}} \] Начнём с формулы \[ \frac{\nu J_{\nu}\left(x\right)}{x}-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)=J_{\nu+1}\left(x\right): \] \[ \nu x^{\nu-1}J_{\nu}\left(x\right)x^{-\nu}-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)x^{\nu}x^{-\nu}=J_{\nu+1}\left(x\right), \] \[ \frac{\left(x^{\nu}\right)^{\prime}J_{\nu}\left(x\right)-J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)x^{\nu}}{x^{\nu}}=J_{\nu+1}\left(x\right), \] \[ \frac{J_{\nu}^{\prime}\left(x\right)x^{\nu}-\left(x^{\nu}\right)^{\prime}J_{\nu}\left(x\right)}{x^{2\nu}}=-\frac{J_{\nu+1}\left(x\right)}{x^{\nu}}, \] \[ \frac{d}{dx}\left[\frac{J_{\nu}\left(x\right)}{x^{\nu}}\right]=-\frac{J_{\nu+1}\left(x\right)}{x^{\nu}}. \]
Задание: № 86, 87, 88.
Задание: № 95.
