Уравнению Бесселя y″+1xy′+(1−ν2x2)y=0 удовлетворяют функции Бесселя: J±ν(x)=∞∑k=0(−1)kΓ(k±ν+1)k!(x2)2k±ν.
Проверка формулы (1) из §8 νJν(x)x−J′ν(x)=Jν+1(x) Если Jν(x)=∞∑k=0(−1)kΓ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν, то Jν+1(x)=∞∑k=0(−1)kΓ(k+ν+2)k!(x2)2k+ν+1, νxJν(x)=∞∑k=0(−1)kν2Γ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν−1, J′ν(x)=∞∑k=0(−1)k(2k+ν)2Γ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν−1; тогда νJν(x)x−J′ν(x)=∞∑k=0(−1)k2Γ(k+ν+1)k2k+ν−1=∞∑k=0(−1)k+1kΓ(k+ν+1)k!(x2)2k+ν−1= k=j+1 =0+∞∑k=1(−1)k+1Γ(k+ν+1)(k−1)!(x2)2k+ν−1=∞∑j=0(−1)jΓ(j+ν+2)j!(x2)2j+ν+1≡Jν+1(x) Задание: Проверить формулу (2); непосредственной подстановкой убедиться в том, что функция J из второй формулы в §8 удовлетворяет уравнению Бесселя из первой формулы. Подсказка: уравнение Бесселя использовать в виде xddx(xddxy)+(x2−ν2)y=0.
Сложим (а не вычтем, кстати) формулы (1) и (2) νJν(x)x−J′ν(x)=Jν+1(x) νJν(x)x+J′ν(x)=Jν−1(x) и получим рекуррентную формулу 2νxJν(x)=Jν+1(x)+Jν−1(x). № 93 а) выразить J2(x) через J0(x) и J1(x).
Подставляем в рекуррентную формулу ν=1 2xJ1(x)=J2(x)+J0(x) J2(x)=2xJ1(x)−J0(x). Задание: № 93 в) с); № 82 методом матиндукции.
№ 83 Вычислить J12(x): J12(x)=∞∑k=0(−1)kΓ(k+12+1)k!(x2)2k+12 Γ(k+12+1)=(k+12)Γ(k+12)=(k+12)(k−12)Γ(k−12)=(k+12)(k−12)…12Γ(12)= =Γ(12)k∏j=0(j+12)=√πk∏j=0(2j+12)=√π∏kj=1(2j+1)2k+1=√π∏kj=1(2j+1)∏kj=1(2j)2k+1∏kj=1(2j)= =√π(2k+1)!2k+12kk!=√π(2k+1)!22k+1k! J12(x)=∞∑k=0(−1)k√π(2k+1)!22k+1k!k!(x2)2k+12=(x2)12∞∑k=0(−1)k22k+1√π(2k+1)!x2k22k=2√x2∞∑k=0(−1)k√π(2k+1)!x2k= =2√x21x√π∞∑k=0(−1)k(2k+1)!x2k+1=√2πxsinx. Задание: № 84, 89, 90.
№ 85 Доказать: ddx[Jν(x)xν]=−Jν+1(x)xν Начнём с формулы νJν(x)x−J′ν(x)=Jν+1(x): νxν−1Jν(x)x−ν−J′ν(x)xνx−ν=Jν+1(x), (xν)′Jν(x)−J′ν(x)xνxν=Jν+1(x), J′ν(x)xν−(xν)′Jν(x)x2ν=−Jν+1(x)xν, ddx[Jν(x)xν]=−Jν+1(x)xν.
Задание: № 86, 87, 88.
Задание: № 95.