При решении задач, встречавшихся ранее, методом разделения переменных, в пространственной части получались синусы/косинусы. Для однородных задач инейная комбинация решений есть тоже решение, а линейная комбинация получавшихся синусов образовывала ряд Фурье, в виде которого и предъявлялся ответ.
Однако ранее область в пространстве, на которой мы искали функцию Х, была обычно прямоугольной. При решении похожих задач, но для круга, часто аналогично синусам появляются функции Бесселя, а затем и ряды по функциям Бесселя. Одну круглую задачу (задачу Дирихле) мы уже рассмотрели, но там функций Бесселя удалось чудом избежать. Ниже будет решаться задача, где эта благодать закончится.
Условия задачи
Требуется найти такое $U(r,\varphi,t)$, которое на круге $0 \leqslant r \leqslant r_0$, $0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$ удовлетворяет уравнению колебаний \begin{equation} U_{tt}=a^{2}\Delta U\label{eq:kol} \end{equation} причём на границе равно нулю, \begin{equation} \left.U\right|_{r=r_{0}}=0\label{eq:gr} \end{equation} а начальным условиям удовлетворяет таким: \begin{equation} \left.U_{t}\right|_{t=0}=0\label{eq:na1} \end{equation} \begin{equation} \left.U\right|_{t=0}=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)\label{eq:na2} \end{equation}Перевод уранения колебаний в полярные координаты
Граница области, граничные и начальные условия у нас приведены в полярных координатах, к каковым нужно привести и уравнение колебаний. Преобразовать для этого нужно только лапласиан на плоскости, что уже делалось при решении задачи Дирихле, так что тут я только напомню результаты. \begin{equation} U=U\left(t,r,\varphi\right)\quad U\left(t,r,\varphi\right)=U\left(t,r,\varphi+2\pi\right)\label{eq:cyc} \end{equation} \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{array}\right. \end{equation} \begin{equation} \Delta U=U_{xx}+U_{yy}=U_{rr}+\frac{1}{r^{2}}U_{\varphi\varphi}+\frac{1}{r}U_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rU_{r}\right)+\frac{1}{r^{2}}U_{\varphi\varphi} \end{equation} (см задачу 60) \begin{equation} \frac{1}{a^{2}}U_{tt}=U_{rr}+\frac{1}{r^{2}}U_{\varphi\varphi}+\frac{1}{r}U_{r}\label{eq:lap_pol} \end{equation}Решение разделением переменных
Решаем методом разделения переменных уравнение колебаний с граничными условиями, но без начальных (т.е. однородную задачу). \begin{equation} U\left(t,r,\varphi\right)=T\left(t\right)R\left(r\right)\Phi\left(\varphi\right)\label{eq:U_razd} \end{equation} Из (\ref{eq:cyc}) \begin{equation} \Phi\left(\varphi\right)=\Phi\left(\varphi+2\pi\right)\label{eq:cyc_fi} \end{equation} Подставляем в уравнение колебаний разложенное в (\ref{eq:U_razd}) $U$ и делим на $U$: \begin{equation} \left.\frac{1}{a^{2}}R\Phi T''=\Phi TR''+\frac{1}{r^{2}}TR\Phi''+\frac{1}{r}T\Phi R'\right|\cdot\frac{1}{TR\Phi} \end{equation} Обе (равные) части обозначим как $\varkappa$ \begin{equation} \frac{1}{a^{2}}\frac{T''}{T}=\frac{R''}{R}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\Phi''}{\Phi}+\frac{1}{r}\frac{R'}{R}=\varkappa\label{eq:otd_t} \end{equation} и обнаружим, что (как и ранее при разделении) \begin{equation} \varkappa'_{t}=0,\quad\varkappa'_{r}=\varkappa'_{\varphi}=0,\quad\Longrightarrow\quad\varkappa=const \end{equation}Пространственная часть
Уравнение \begin{equation} \frac{R''}{R}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\Phi''}{\Phi}+\frac{1}{r}\frac{R'}{R}=\varkappa \end{equation} придётся разделять повторно – на угловую (описывающую $\Phi(\varphi)$) и радиальную (на $R(r)$) части: \begin{equation} r^{2}\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R}-\varkappa r^{2}=-\frac{\Phi''}{\Phi}=\mu\label{eq:razd_r_fi} \end{equation} \[ \mu=const \]Угловая часть
\begin{equation} -\frac{\Phi''}{\Phi}=\mu\label{eq:fi_ur} \end{equation} Из (\ref{eq:fi_ur}) при условии (\ref{eq:cyc_fi}), как в задаче 60, получаем \begin{equation} \mu=n^{2}\label{eq:mu_is_n} \end{equation} \begin{equation} \Phi_{n}=C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right),\qquad n=0,1,2\ldots \label{eq:fi_eto} \end{equation}
Радиальная часть
Подставим (\ref{eq:mu_is_n}) в (\ref{eq:razd_r_fi}): \begin{equation} r^{2}\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R}-\varkappa r^{2}=n^{2} \end{equation} перенесём и умножим на $R$ \begin{equation} r^{2}R''+rR'-\varkappa r^{2}R-Rn^{2}=0 \end{equation} разделим на $r^2$ \begin{equation} R''+\frac{1}{r}R'-\varkappa R-\frac{n^{2}}{r^{2}}R=0 \end{equation} Исследование уравнений такого типа приводит нас к тому, что их решения не имеют нулей при $\varkappa > 0$. Нам же (таковы в нашей задаче граничные условия) нужно решение, нулевое при $r=r_0$, а такие решения существуют только если $\varkappa \leqslant 0$, а тогда $\sqrt{-\varkappa}\in \mathbb{R}$. Заменим \begin{equation} r=\frac{\rho}{\sqrt{-\varkappa}},\quad\frac{1}{r}=\frac{\sqrt{-\varkappa}}{\rho}, \end{equation} тогда \begin{equation} R'=\frac{dR}{d\rho}\frac{d\rho}{dr}=\frac{dR}{d\rho}\sqrt{-\varkappa},\qquad R''=\frac{d}{dr}\left(\frac{dR}{d\rho}\sqrt{-\varkappa}\right)=\sqrt{-\varkappa}\frac{d^{2}R}{d\rho^{2}}\frac{d\rho}{dr}=-\varkappa\frac{d^{2}R}{d\rho^{2}} \end{equation} и в уравнении будет \begin{equation} -\varkappa\frac{d^{2}R}{d\rho^{2}}+\frac{\sqrt{-\varkappa}}{\rho}\frac{dR}{d\rho}\sqrt{-\varkappa}-\varkappa R-n^{2}\left(\frac{\sqrt{-\varkappa}}{\rho}\right)^{2}R=0, \end{equation} что после сокращения на $-\varkappa$ даст классическое уравнение Бесселя: \begin{equation} \frac{d^{2}R}{d\rho^{2}}+\frac{1}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left(1-\frac{n^{2}}{\rho^{2}}\right)R=0 \end{equation} с конечным решением (второе расходится в нуле) в виде \begin{equation} R=C^{3}J_{n}\left(\rho\right)=C^{3}J_{n}\left(\sqrt{-\varkappa}r\right) \end{equation} Из (\ref{eq:gr}) следует \begin{equation} R\left(r_{0}\right)=0, \end{equation} значит \begin{equation} J_{n}\left(\sqrt{-\varkappa}r_{0}\right)=0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-\varkappa}r_{0}=\mu_{k}^{(n)}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-\varkappa}=\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}},\quad k\in\mathbb{N}, \end{equation} т.е. \begin{equation} \varkappa=-\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}}\right)^{2}\label{eq:kappa_eto} \end{equation} и набор ненулевых решений получается такой: \begin{equation} R_{nk}=C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\label{eq:R_eto} \end{equation}
Временная часть
Подставим (\ref{eq:kappa_eto}) в (\ref{eq:otd_t}) \begin{equation} \frac{1}{a^{2}}\frac{T''}{T}=-\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}}\right)^{2}, \end{equation} \begin{equation} T''=-\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}\right)^{2}T, \end{equation} откуда \begin{equation} T_{nk}=C_{nk}^{4}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)+C_{nk}^{5}\sin\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\label{eq:T_eto} \end{equation} Общее решение такое: \[ U=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}T_{nk}R_{nk}\Phi_{n}= \] \begin{equation} =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[C_{nk}^{4}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)+C_{nk}^{5}\sin\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\right]C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]\label{eq:U_1} \end{equation}
Начальные условия
Начальная скорость
\begin{equation} \left.U_{t}\right|_{t=0}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{nk}^{5}=0. \end{equation} Доказательство. Воспользуемся тем, что \[ \intop_{-\pi}^{\pi}\cos\left(m\varphi\right)\cos\left(n\varphi\right)d\varphi=\left\{ \begin{array}{cc} 0, & n\neq m\\ \pi, & n=m\neq0\\ 2\pi, & n=m=0 \end{array}\right.\qquad\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\left(m\varphi\right)\sin\left(n\varphi\right)d\varphi=\left\{ \begin{array}{cc} 0, & n\neq m\\ \pi, & n=m\neq0\\ 0, & n=m=0 \end{array}\right. \] \begin{equation} \intop_{-\pi}^{\pi}\sin\left(m\varphi\right)\cos\left(n\varphi\right)d\varphi=0\label{eq:trig_ort} \end{equation}\begin{equation} U_t= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}} \left[ -C_{nk}^{4}\sin\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)+ C_{nk}^{5}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right) \right]C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]\label{eq:U_t} \end{equation}
\begin{equation} \left.U_{t}\right|_{t=0}= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}} \left[ C_{nk}^{5} \right]C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right) \left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right] =0 \label{eq:U_t0} \end{equation} Домножим на $\cos(m\varphi)$ и проинтегрируем по $\varphi$: \begin{equation} \intop_{-\pi}^{\pi}d\varphi\cos\left(m\varphi\right)\cdot\left|\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[C_{nk}^{5}\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}\right]C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]=0\right. \end{equation} получим \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\left[C_{mk}^{5}\frac{\mu_{k}^{(m)}a}{r_{0}}\right]C_{mk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right) \left[ C_{m}^{1} \right]=0 \end{equation} Теперь воспользуемся ортогональностью функций Бесселя: \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}J_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)J_{m}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)rdr=\delta_{kn}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\right)\right]^{2}.\label{eq:bess_ort} \end{equation} Домножим на $rJ_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)$ и проинтегрируем по $r$: \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}dr\, rJ_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right) \cdot\left|\sum_{k=1}^{\infty}C_{mk}^{5}\frac{\mu_{k}^{(m)}a}{r_{0}}C_{mk}^{3}\, J_{m}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{m}^{1}=0\right.,\qquad \quad m=0,1,\dots \end{equation} выйдет \begin{equation} C_{mn}^{5}\frac{\mu_{n}^{(m)}a}{r_{0}}C_{mn}^{3}C_{m}^{1}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\right)\right]^{2}=0, \end{equation} и так как остальное не может быть приравнено нулю, \begin{equation} C_{mn}^{5}C_{m}^{1}=0. \end{equation} Аналогично поступим с синусом: \begin{equation} \intop_{-\pi}^{\pi}d\varphi\sin\left(m\varphi\right)\cdot\left|\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[C_{nk}^{5}\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}\right]C_{nk}^{3}\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]=0\right. \end{equation} \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}dr\, rJ_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)\cdot\left|\pi\sum_{k=1}^{\infty}C_{mk}^{5}\frac{\mu_{k}^{(m)}a}{r_{0}}C_{mk}^{3}\, J_{m}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{m}^{2}=0\right.,\qquad m=1,2,\dots \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{5}\frac{\mu_{n}^{(m)}a}{r_{0}}C_{mn}^{3}C_{m}^{2}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\right)\right]^{2}=0, \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{5}C_{m}^{2}=0. \end{equation} Подставим в (\ref{eq:U_1}): \[ U=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{nk}^{4}C_{nk}^{3}C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{nk}^{4}C_{nk}^{3}C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]= \] обозначим $C_{nk}^{4}C_{nk}^{3}C_{n}^{1}\equiv C_{nk}^{6}$, $C_{nk}^{4}C_{nk}^{3}C_{n}^{2}\equiv C_{nk}^{7}$ \begin{equation} =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right)+C_{nk}^{7}\sin\left(n\varphi\right)\right].\label{eq:U_2} \end{equation}
Начальное отклонение
\begin{equation} \left.U\right|_{t=0}=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}}\right) \end{equation} \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right)+C_{nk}^{7}\sin\left(n\varphi\right)\right]=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right) \label{U_2} \end{equation}Смерть угловой части
Домножим (\ref{U_2}) на $\sin(m\varphi)$ и проинтегрируем по $\varphi$: \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\intop_{-\pi}^{\pi}\left[C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right)+C_{nk}^{7}\sin\left(n\varphi\right)\right]\sin\left(m\varphi\right)d\varphi=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\left(m\varphi\right)d\varphi \end{equation} \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{nk}^{7}\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\left(n\varphi\right)\sin\left(m\varphi\right)d\varphi=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)\intop_{-\pi}^{\pi}\sin\left(m\varphi\right)d\varphi \end{equation} при $m\neq0$ \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}dr\, rJ_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)\cdot\left|\sum_{k=1}^{\infty}J_{m}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{mk}^{7}\pi=0,\right. \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{7}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\right)\right]^{2}=0, \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{7}=0. \end{equation} Подставим в (\ref{eq:U_2}) и получим новый вид решения: \begin{equation} U=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right).\label{eq:U_3} \end{equation} Начальное условие (\ref{eq:na2}) превратится в \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right)=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right). \label{nu_2} \end{equation} Теперь домножим (\ref{nu_2}) на $\cos(m\varphi)$ и проинтегрируем по $\varphi$: \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{nk}^{6}\intop_{-\pi}^{\pi}\cos\left(n\varphi\right)\cos\left(m\varphi\right)d\varphi=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)\intop_{-\pi}^{\pi}\cos\left(m\varphi\right)d\varphi\label{eq:C6_cos} \end{equation} при $m\neq0$ \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}dr\, rJ_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)\cdot\left|\sum_{k=1}^{\infty}J_{m}\left(\mu_{k}^{(m)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{mk}^{6}\pi=0\right. \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{6}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{m}\left(\mu_{n}^{(m)}\right)\right]^{2}=0 \end{equation} \begin{equation} C_{mn}^{6}=0,\quad m=1,2,\dots \end{equation} и (\ref{eq:U_3}) превратится в \begin{equation} U=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{nk}^{6}\cos\left(n\varphi\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(0)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{0k}^{6}.\label{eq:U_4} \end{equation}Нахождение оставшихся коэффициентов $C_{0k}^{6}$
Теперь пусть в (\ref{eq:C6_cos}) $m=0$: \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{0k}^{6}2\pi=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)2\pi, \end{equation} \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}dr\, rJ_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\cdot\left|\sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{0k}^{6}=A\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)\right., \end{equation} \begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}C_{0k}^{6}\intop_{0}^{r_{0}}J_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)rdr=A\intop_{0}^{r_{0}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)J_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\, rdr.\label{eq:ur_c6} \end{equation} Далее будут активно использоваться формулы \[ \frac{\nu}{x}J_{\nu}-J'_{\nu}=J_{\nu+1},\qquad\frac{\nu}{x}J_{\nu}+J'_{\nu}=J_{\nu-1}. \] Левая часть (\ref{eq:ur_c6}): \[ \sum_{k=1}^{\infty}C_{0k}^{6}\intop_{0}^{r_{0}}J_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)rdr=\sum_{k=1}^{\infty}C_{0k}^{6}\delta_{nk}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)\right]^{2}=C_{0n}^{6}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J'_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)\right]^{2}= \] $J'_{0}=-J_{1}$ \begin{equation} =C_{0n}^{6}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)\right]^{2}.\label{eq:C6_left} \end{equation} Правая часть(\ref{eq:ur_c6}) без $A$ и с заменой \[ \mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}=\rho;\quad r=\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\rho: \] \[ \intop_{0}^{r_{0}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)J_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\, rdr=\left(\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\left(\frac{\rho}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\right)J_{0}\left(\rho\right)\,\rho d\rho= \] с учётом $J_{0}\left(\rho\right)=\frac{1}{\rho}J_{1}\left(\rho\right)+J'_{1}\left(\rho\right)$: \[ =\left(\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)\left(\frac{1}{\rho}J_{1}\left(\rho\right)+J'_{1}\left(\rho\right)\right)\,\rho d\rho= \] раскладываем \[ =\left(\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\left[\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho+\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(\rho-\frac{\rho^{3}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J'_{1}\left(\rho\right)\, d\rho\right]= \] \begin{equation} =\left(\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\left[\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho+\left.\left(\rho-\frac{\rho^{3}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J{}_{1}\left(\rho\right)\right|_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}-\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{3\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J{}_{1}\left(\rho\right)\, d\rho\right]= \end{equation} \[ =\left(\frac{r_{0}}{\mu_{n}^{(0)}}\right)^{2}\left[\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho-\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\left(1-\frac{3\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\right)J{}_{1}\left(\rho\right)\, d\rho\right]= \] \[ =\frac{r_{0}^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\frac{2\rho^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{2}}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho=\frac{2r_{0}^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{4}}\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho^{2}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho. \] Вычислим отдельно последний интеграл. Ещё раз по частям, $J_{1}=-J'_{0}$: \[ \intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho^{2}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho=-\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho^{2}J'_{0}\left(\rho\right)\, d\rho=-\left.\rho^{2}J{}_{0}\left(\rho\right)\right|_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}+\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}2\rho J{}_{0}\left(\rho\right)\, d\rho=2\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho\left(\frac{1}{\rho}J_{1}\left(\rho\right)+J'_{1}\left(\rho\right)\right)\, d\rho= \] \begin{equation} =2\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho+2\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho J'_{1}\left(\rho\right)\, d\rho= \end{equation} И ещё раз: \[ =2\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho+2\left.\rho J{}_{1}\left(\rho\right)\right|_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}-2\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}J{}_{1}\left(\rho\right)\, d\rho=2\mu_{n}^{(0)}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right). \] Итак, \begin{equation} \intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho^{2}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho=2\mu_{n}^{(0)}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right), \end{equation} \begin{equation} \intop_{0}^{r_{0}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)J_{0}\left(\mu_{n}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\, rdr=\frac{2r_{0}^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{4}}\intop_{0}^{\mu_{n}^{(0)}}\rho^{2}J_{1}\left(\rho\right)\, d\rho=\frac{4r_{0}^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{3}}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right), \end{equation} и (\ref{eq:ur_c6}) записывается в виде \begin{equation} C_{0n}^{6}\frac{r_{0}^{2}}{2}\left[J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)\right]^{2}=A\frac{4r_{0}^{2}}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{3}}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right), \end{equation} откуда \begin{equation} C_{0n}^{6}=\frac{8A}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{3}\left[J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)\right]^{2}}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)=\frac{8A}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{3}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)}, \end{equation} что подставляется в (\ref{eq:U_4}), и находится окончательный ответ: \begin{equation} U=\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(0)}a}{r_{0}}t\right)\, J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)C_{0k}^{6}=8A\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\left(\frac{\mu_{k}^{(0)}a}{r_{0}}t\right)}{\left(\mu_{n}^{(0)}\right)^{3}J{}_{1}\left(\mu_{n}^{(0)}\right)}\, J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right). \end{equation}Задание: № 116
