Пояснения к №34 из Даишева и Никитина « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

13.10.2011

Пояснения к №34 из Даишева и Никитина

Filed under: ММФ — Shine @ 3:24 пп

Печатается по просьбе тов. Михеевой.

Решением задачи

$\displaystyle U_t=a^2U_{xx},\quad \left.U \right\vert _{x=0}=\left.U \right\vert _{x=l}=0$

является функция

$\displaystyle U=\sum_{n=1}^{\infty }{C_{n}\,e^ {- {\dfrac{\pi^2\,a^2\,n^2\,t}{l^2 }} }\,\sin \left({\frac{\pi\,n\,x}{l}}\right)}.$

Это неоднократно получено ранее, поэтому не будем расписывать подробности. Трудности возникли с нахождением $C_{n}$ из начальных условий

$\displaystyle \left.U \right\vert _{t=0}=\frac{cx(l-x)}{l^2}.$

Так как

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }{C_{n}\,\sin \left({\frac{\pi\,n\,x}{l}}\righ... ...int\limits_0^l \frac{cx(l-x)}{l^2} \sin \left({\frac{\pi\,n\,x}{l}}\right) dx.$

Проинтегрируем по частям:

$\displaystyle C_{n}=-{\frac{2\,c}{\pi\,l^2\,n}}\, \int\limits_{0}^{l}{\left(l-\... ...rac{d}{d \,\tau}}\,\cos \left({\frac{\pi\,n\,\tau}{l}}\right)\right)\;d\tau}=$

$\displaystyle -{\frac{2c}{\pi l^2n}} \left( \left.\left(l-\tau\right)\tau\cos \... ...ft(l-2 \tau\right) \cos \left({\frac{\pi n \tau }{l}}\right)\;d\tau} \right)=$

$\displaystyle ={\frac{2\,c}{\pi\,l^2\,n}} \,\int\limits_{0}^{l}{\left(l-2\,\tau\right)\,\cos \left({\frac{\pi\,n\, \tau}{l}}\right)\;d\tau}=$

и ещё раз по частям:

$\displaystyle ={\frac{2\,c}{\pi^2\,l\,n^2}} \,\int\limits_{0}^{l}{\left(l-2\,\t... ...rac{d}{d\, \tau}}\,\sin \left({\frac{\pi\,n\,\tau}{l}}\right)\right)\;d\tau}=$

$\displaystyle {\frac{2\,c }{\pi^2\,l\,n^2}} \,\left(\left.\left(l-2\,\tau\right... ...nt\limits_{ 0}^{l}{\sin \left({\frac{\pi\,n\,\tau}{l}}\right)\;d\tau} \right)$

$\displaystyle ={\frac{4\,c}{\pi^2\,l\,n^2}\,\int\limits_{0}^{l}{\sin \left({\fr... ...d \tau}}%= =-{\frac{4\,c}{\pi^3\,n^3}} \,\left(\left(-1\right)^{n}-1\right).$