Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Здравствуйте. Материал для освоения вот, я на связи жду вопросов. Д/з в честь прошедшей к/р не проверяется.

Криволинейный интеграл первого рода функции $f\left(x,y,z\right)$ по кривой $C$ (в пространстве или на плоскости) вычисляется по формуле $$\int\limits _{C}f\left(x,y,z\right)ds=\int\limits _{t_{1}}^{t_{2}}f\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}dt,$$ где $\dot{x}\equiv\frac{dx}{dt}$, $\dot{y}\equiv\frac{dy}{dt}$, $\dot{z}\equiv\frac{dz}{dt}$, и при $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$ точка $A\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)$ пробегает кривую $C$ один раз.

Демидович №4224. Выислить интеграл $$\int\limits _{C}xyds,$$ где $C$ – дуга гиперболы: $x=a\mathrm{ch}\,t$, $y=a\mathrm{sh}\,t$, $0\leqslant t\leqslant t_{0}$.

Для этого номера придётся вспомнить несколько свойств гиперболических функций. Шинус двойного угла раскладывается аналогично синусу: $$2\mathrm{sh}\,t\mathrm{ch}\,t=2\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=2\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{4}=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}=\mathrm{sh}\,2t.$$ Значит, подынтегральное выражение выражается через $t$ так: $$xy=a^{2}\mathrm{sh}\,t\mathrm{ch}\,t=\frac{a^{2}}{2}\mathrm{sh}\,2t.$$ Производные координат будут такими: $$\dot{x}=a\mathrm{sh}\,t,\qquad\dot{y}=a\mathrm{ch}\,t,$$ а так как $$\mathrm{ch}^{2}\,t=\left(\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right)^{2}=\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4},$$ $$\mathrm{sh}^{2}\,t=\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4},$$ $$\mathrm{sh}^{2}\,t+\mathrm{ch}^{2}\,t=\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{2}=\mathrm{ch}\,2t,$$ корень записывается через $t$ так: $$\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}=\sqrt{a^{2}\mathrm{sh}^{2}\,t+a^{2}\mathrm{ch}^{2}\,t}=\left|a\right|\sqrt{\mathrm{sh}^{2}\,t+\mathrm{ch}^{2}\,t}=\left|a\right|\sqrt{\mathrm{ch}\,2t}.$$ Пределы изменения для $t$ даны в задаче. Вычисляем интеграл: $$\int\limits _{C}xyds=\int\limits _{0}^{t_{0}}\frac{a^{2}}{2}\mathrm{sh}\,2t\cdot\left|a\right|\sqrt{\mathrm{ch}\,2t}dt=\frac{\left|a^{3}\right|}{4}\int\limits _{0}^{t_{0}}\sqrt{\mathrm{ch}\,2t}\left(\mathrm{ch}\,2t\right)'dt=\frac{\left|a^{3}\right|}{4}\left.\frac{2}{3}\left(\mathrm{ch}\,2t\right)^{3/2}\right|_{0}^{t_{0}}=\frac{\left|a^{3}\right|}{6}\left[\left(\mathrm{ch}\,2t_{0}\right)^{3/2}-1\right].$$

Задание: № 4222, 4223, 4231 (этот уже трёхмерный, но решается так же), 4239.

Криволинейный интеграл второго рода функции $P\left(x,y,z\right)$ по кривой $C$ (в пространстве или на плоскости) берётся по одной из координат и вычисляется, в случае координаты $x$, по формуле $$\int\limits _{C}Pdx=\int\limits _{t_{1}}^{t_{2}}P\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\dot{x}dt$$ Обычно интегралы второго рода вычисляются от компонент вектора $$\overrightarrow{F}\left(x,y,z\right)=\left(\begin{array}{c} P\\ Q\\ R \end{array}\right),$$ причём каждая компонента интегрируется по своей координате: $$\int\limits _{C}\left(Pdx+Qdy+Rdz\right)=\int\limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left[P\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\dot{x}+Q\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\dot{y}+R\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\dot{z}\right]dt.$$ Результат такого интегрирования уже не зависит от выбора декартовых координат. На плоскости интегрируются векторы с двумя компонентами.

Демидович №4252 Вычислить интеграл $$\oint\limits _{C}\left(x+y\right)dx+\left(x-y\right)dy,$$ где $C$ – эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, пробегаемый против часовой стрелки.

Параметризуем эллипс так: $$\left\{ \begin{array}{c} x=a\cos t\\ y=b\sin t \end{array}\right.,\qquad0\leqslant t\leqslant2\pi$$ В данной задаче $$\left\{ \begin{array}{c} P=\left(x+y\right)\\ Q=\left(x-y\right) \end{array}\right.,\qquad\left\{ \begin{array}{c} \dot{x}=-a\sin t\\ \dot{y}=b\cos t \end{array}\right..$$ Тогда $$\oint\limits _{C}(x+y)dx+(x-y)dy=\int\limits _{0}^{2\pi}\left[-\left(a\cos t+b\sin t\right)a\sin t+\left(a\cos t-b\sin t\right)b\cos t\right]dt=$$ $$=\int\limits _{0}^{2\pi}\left[-a^{2}\sin t\cos t-ba\sin^{2}t+ab\cos^{2}t-b^{2}\cos t\sin t\right]dt=$$ $$=\int\limits _{0}^{2\pi}\left[ab\left(\cos^{2}t-\sin^{2}t\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin t\cos t\right]dt=$$ $$=\int\limits _{0}^{2\pi}\left[ab\cos2t-\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\sin2t\right]dt=0.$$ Задание: № 4250, 4253, 4254, 4279.