Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

И последнее, что я должен сообщить про системы уравнений. Если уравнения в системе линейны, но имеют порядок выше первого, то можно добавлением новых функций от $t$ свести систему к системе первого порядка, но с бОльшим числом уравнений.

Да, такие задания могут попасться в контрольной работе.

Например, в № 822 для системы $$\left\{ \begin{array}{r} \ddot{x}+3\ddot{y}-x=0\\ \dot{x}+3y-2\dot{y}=0 \end{array}\right.$$ введём функции $u=\dot{x}$ и $v=\dot{y}$. Тогда $\ddot{x}=\dot{u}$, $\ddot{y}=\dot{v}$ и $$\left\{ \begin{array}{r} \dot{u}+3\dot{v}-x=0,\\ u+3y-2v=0. \end{array}\right.$$ Из второго уравнения сразу избавимся от $u$: $$u=-3y+2v,$$ дифференцируя последнее ($\dot{u}=-3\dot{y}+2\dot{v}$) и подставляя в первое, получим $$-3\dot{y}+2\dot{v}+3\dot{v}-x=0,$$ $$-3v+5\dot{v}-x=0,$$ $$5\dot{v}=x+3v,$$ откуда $$\dot{v}=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v.$$ Так как $\dot{x}=u=-3y+2v$, система на оставшиеся неизвестные функции приобретает следующий вид: $$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-3y+2v\\ \dot{y}=v\\ \dot{v}=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v \end{array}\right.$$ Дальше записываем систему в матричном виде, $$\dot{X}=AX,$$ где $$X=\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ v \end{array}\right),\quad A=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -3 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{1}{5} & 0 & \frac{3}{5} \end{array}\right),$$ и далее – как обычно, только в ответе достаточно привести $x$ и $y$.