Филиппов №473 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

20.10.2011

Филиппов №473

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 10:19 дп

Решить уравнение:

4x2y3y′′ = x2 − y4

(1)

Проверка обобщённой однородности

Заменим в уравнении (1)

{ x → kxm y → k y.

Тогда $y′ → km−1y′, y′′ → km −2y′′,$ и уравнение приобретёт вид $4k4mx2y3y ′′ = k2x2 − k4my4$ . Разделим уравнение на $k2$ : $4k4m− 2x2y3y′′ = x2 − k4m−2y4$ . При $m = 1∕2$ мы получим уравнение $4x2y3y′′ = x2 − y4,$ совпадающее с исходным уравнением (1).

Решение

Заменим

{ x = et y = et∕2z(t),

(2)

тогда $y′ = e−t∕2(z′ + z) 2$ , $y′′ = e−3t∕2(z′′ − z) 4$ , и уравнение (1) преобразуется в такое:

e2tz3 (4z′′ − z) = e2t − e2tz4 ⇒ 4z3z′′ − 1 = 0.

Так как в последнем уравнении отсутствует независимый аргумент $t$ , заменим в нём $′ z = u(z)$ , $′′ ′ z = uu$ , при этом получим

1 4uu′z3 − 1 = 0 ⇒ uu ′ = 4z3.

Интегрируем обе части по $z$ :

u2 1 -- = ˜c1 −--2, 2 8z

и заменив обратно $′ u = z$ , придём к уравнению

√ ---2---- z′ = ±--8˜c1z--− 1-. 2z

Разделив переменные и проинтегровав, получим

√----2--- ± -8˜c1z-−-1-= t+ ˜c2 4˜c1

Вспомним, что по (2) $z = e−t∕2y$ , $t = logx$ , возведём обе части в квадрат и переобозначим $˜c1 = C1 ∕4,˜c2 = C2$ . Тогда после несложных операций приходим к ответу

2C1y2 − x = C21x (logx + C2)2.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников