При определении поверхностных интегралов первого рода использовался модуль вектора →dS. Для параметрически заданной поверхности он равнялся →dS=[→r′u×→r′v]dudv.
Поверхностный интеграл второго рода использует сам вектор →dS, на который скалярно умножается интегрируемая векторная величина →F=(P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)). Компоненты вектора →dS традиционно обозначаются так: →dS=(dydzdxdzdxdy), и при умножении на подынтегральное выражение они умножаются на соответствующие компоненты вектора →F. Так что если, например, вы видите интеграл второго рода такой: ∬ то интегрируется \overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right), т.е. P=x, Q=y, R=z.
Так как пара параметров u и v не предполагает строгой очерёдности, а от порядка множителей векторного произведения зависит его направление, при постановке задач требуется уточнять направление вектора \overrightarrow{dS}. Для замкнутых поверхностей, если это направление не задано, как правило имеется в виду направление из области, ограниченной поверхностью интегрирования, наружу. В зависимости от направления выбирается порядок касательных векторов в произведении.
Задание: Разберите решения задач № 4362 и 4363 из Демидовича, после чего решите следующие номера:
