Всякое уравнение, содержащее более одной переменной, связывает эти переменные. Даже когда мы задаём функцию вида $y=f\left(x\right)$, мы пишем уравнение. Это уравнение уже разрешено относительно переменной $y$, но его можно решить и относительно переменной $x$.
Дифференциальными называются уравнения, содержащие производные одной переменной по другой.
Если в одном уравнении встречаются производные по разным переменным, например, если уравнение имеет вид \[ F\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}},\dots\right)=0, \] то такие дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных. Если же все производные в уравнении – по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Старший порядок производной, встречающейся в уравнении, называется порядком этого уравнения. Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$ имеет вид \[ F\left(x,y,y',y'',\dots y^{(n)}\right)=0. \] Заметим, что в обыкновенном дифференциальном уравнении может встречаться более двух переменных, но все производные, которые в нём есть – по одной.
Мы далее будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Более того, из таких уравнений мы долго будем выбирать уравнения, разрешённые относительно производной – то есть, такие: \[ y'=f\left(x,y\right) \] Общих алгоритмов решения дифференциальных уравнений, как и взятия интегралов, не существует. Свои методы есть только для уравнений отдельно взятых типов. Чем больше таких типов вы знаете – тем лучше вы умеете решать дифференциальные уравнения; хотя никакое сколь угодно глубокое освоение не может гарантированно спасти от фиаско.
Мы начнём с уравнений в частных производных, к которым сводятся многие другие. Выглядят они так: \begin{equation} y'=f\left(x\right)g\left(y\right)\label{eq:razd} \end{equation} Разделив обе части на $g\left(y\right)$, проинтегрируем обе части по $x$. Напоминаю, что если две функции равны, их первообразные равны с точностью до постоянного слагаемого, а их неопределённые интегралы - просто равны. \[ \int\frac{y'}{g\left(y\right)}dx=\int f\left(x\right)dx \] В левой части произведём замену $y'dx=dy$: \[ \int\frac{dy}{g\left(y\right)}=\int f\left(x\right)dx \] Осталось взять два интеграла в левой и правой частях, и мы получим формулу вида \begin{equation} H\left(y\right)=F\left(x\right)+C,\label{eq:re6} \end{equation} которую можно решить относительно $y$ и выразить таким образом $y$ через $x$. Но даже если этого этого не делать, уравнение типа (\ref{eq:re6}) будет уже решением дифференциального уравнения (\ref{eq:razd}). Отметим, что устанавливаемая таким образом связь между $y$ и $x$ неоднозначна: она содержит произвольную константу $C$.
Пример: решим №53 из Филиппова: \[ \left(x^{2}-1\right)y'+2xy^{2}=0, \] иначе \[ y'=-\frac{2xy^{2}}{\left(x^{2}-1\right)}=-\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)}y^{2}. \] В таком виде уравнение явно имеет вид (\ref{eq:razd}). \[ -\frac{y'}{y^{2}}=\frac{2x}{x^{2}-1}, \] \[ -\int\frac{dy}{y^{2}}=\int\frac{2x}{x^{2}-1}dx, \] \[ \frac{1}{y}=\ln\left|x^{2}-1\right|+C. \] В задаче, однако, есть дополнительное задание: найти в этом семействе решений то, при котором $y\left(0\right)=1$ (т.е. проходящее через точку $\left(0;1\right)$) Тогда \[ \frac{1}{1}=\ln\left|0^{2}-1\right|+C,\qquad C=1, \] откуда \[ \frac{1}{y}=\ln\left|x^{2}-1\right|+1, \] \[ y=\frac{1}{\ln\left|x^{2}-1\right|+1}. \] Если бы дополнительного условия $y\left(0\right)=1$ в задаче не было, пришлось бы оставить в ответе всё семейство решений.
Задание: № 54 – 58 (задания, не решённые во время занятия, остаются на дом)
Первым из многочисленных типов уравнений, сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными, будет такой: \[ y'=f\left(ax+by+c\right). \] Он безымянный, не разобран в Филиппове, но уравнения такого типа там попадаются. В таких уравнениях делается замена (и это – первая замена, которую мы делаем в дифференциальных уравнениях) $ax+by+c=z$. Тогда $a+by'=z'$, \[ a+by'=a+bf\left(ax+by+c\right), \] \[ z'=a+bf\left(z\right), \] \[ \frac{z'}{a+bf\left(z\right)}=1, \] \[ \int\frac{dz}{a+bf\left(z\right)}=x+C. \]
Например, №62: \[ y'=\cos\left(y-x\right) \] $z=y-x$, $z'=y'-1$, \[ y'-1=\cos\left(y-x\right)-1, \] \[ z'=\cos\left(z\right)-1, \] \[ \frac{z'}{\cos\left(z\right)-1}=1, \] \[ \int\frac{dz}{\cos\left(z\right)-1}=-\int\frac{dz}{1-\cos\left(z\right)}=-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{\sin^{2}\left(\frac{z}{2}\right)}=\mathrm{ctg}\,\frac{z}{2}=x+C. \] Теперь осталось выполнить обратную замену, и мы получим связь $x$ и $y$: \[ \mathrm{ctg}\,\frac{y-x}{2}=x+C. \] Задание: № 63, 65
Однородные уравнения имеют вид \[ y'=f\left(\frac{y}{x}\right) \] В них выполняется замена $y=x\cdot u\left(x\right)$, где $u$ – новая искомая функция. При этом с уравнением происходит следующее: \[ xu'+u=f\left(u\right), \] \[ xu'=f\left(u\right)-u, \] \[ \frac{u'}{f\left(u\right)-u}=\frac{1}{x}, \] \[ \int\frac{du}{f\left(u\right)-u}=\ln\left|x\right|+C, \] где нужно взять интеграл в левой части и заменить обратно $u=\frac{y}{x}$.
Например, решим №103: \[ \left(y^{2}-2xy\right)dx+x^{2}dy=0 \] Перенося и деля, получим, что \[ y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}}=-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2y}{x}. \] Заменим: \[ xu'+u=-u^{2}+2u, \] \[ xu'=-u^{2}+u, \] \[ \frac{u'}{u-u^{2}}=\frac{1}{x}, \] \[ \ln\left|x\right|+\tilde{C}=\int\frac{du}{u-u^{2}}=\int\frac{1-u+u}{u\left(1-u\right)}du=\int\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\right)du=\ln\left|u\right|-\ln\left|1-u\right|, \] \[ \ln\left|x\right|+\tilde{C}=\ln\left|\frac{u}{1-u}\right|=\ln\left|\frac{\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}\right|=\ln\left|\frac{y}{x-y}\right|, \] \[ \ln\left|\frac{y}{x-y}\frac{1}{x}\right|=\tilde{C}. \] Применим $e^{x}$ к обеим частям: \[ \left|\frac{y}{x-y}\frac{1}{x}\right|=e^{\tilde{C}} \] \[ \frac{y}{x-y}\frac{1}{x}=\pm e^{\tilde{C}}\equiv C \] Решим полученное относительно $x$: \[ \frac{1}{\frac{x}{y}-1}=xC, \] \[ \frac{x}{y}=\frac{1}{xC}+1, \] \[ \frac{y}{x}=\frac{1}{\frac{1}{xC}+1}=\frac{xC}{1+xC}, \] и окончательно \[ y=\frac{x^{2}C}{1+xC}. \] Задание: аналогичным способом решить №101, 102, 104-108.
