Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Всякое уравнение, содержащее более одной переменной, связывает эти переменные. Даже когда мы задаём функцию вида $y=f\left(x\right)$, мы пишем уравнение. Это уравнение уже разрешено относительно переменной $y$, но его можно решить и относительно переменной $x$.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие производные одной переменной по другой.

Если в одном уравнении встречаются производные по разным переменным, например, если уравнение имеет вид $$F\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}},\dots\right)=0,$$ то такие дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных. Если же все производные в уравнении – по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Старший порядок производной, встречающейся в уравнении, называется порядком этого уравнения. Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$ имеет вид $$F\left(x,y,y',y'',\dots y^{(n)}\right)=0.$$ Заметим, что в обыкновенном дифференциальном уравнении может встречаться более двух переменных, но все производные, которые в нём есть – по одной.

Мы далее будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Более того, из таких уравнений мы долго будем выбирать уравнения, разрешённые относительно производной – то есть, такие: $$y'=f\left(x,y\right)$$ Общих алгоритмов решения дифференциальных уравнений, как и взятия интегралов, не существует. Свои методы есть только для уравнений отдельно взятых типов. Чем больше таких типов вы знаете – тем лучше вы умеете решать дифференциальные уравнения; хотя никакое сколь угодно глубокое освоение не может гарантированно спасти от фиаско.

Мы начнём с уравнений в частных производных, к которым сводятся многие другие. Выглядят они так: $$\begin{equation} y'=f\left(x\right)g\left(y\right)\label{eq:razd} \end{equation}$$ Разделив обе части на $g\left(y\right)$, проинтегрируем обе части по $x$. Напоминаю, что если две функции равны, их первообразные равны с точностью до постоянного слагаемого, а их неопределённые интегралы - просто равны. $$\int\frac{y'}{g\left(y\right)}dx=\int f\left(x\right)dx$$ В левой части произведём замену $y'dx=dy$: $$\int\frac{dy}{g\left(y\right)}=\int f\left(x\right)dx$$ Осталось взять два интеграла в левой и правой частях, и мы получим формулу вида $$\begin{equation} H\left(y\right)=F\left(x\right)+C,\label{eq:re6} \end{equation}$$ которую можно решить относительно $y$ и выразить таким образом $y$ через $x$. Но даже если этого этого не делать, уравнение типа ($\ref{eq:re6}$) будет уже решением дифференциального уравнения ($\ref{eq:razd}$). Отметим, что устанавливаемая таким образом связь между $y$ и $x$ неоднозначна: она содержит произвольную константу $C$.

Пример: решим №53 из Филиппова: $$\left(x^{2}-1\right)y'+2xy^{2}=0,$$ иначе $$y'=-\frac{2xy^{2}}{\left(x^{2}-1\right)}=-\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)}y^{2}.$$ В таком виде уравнение явно имеет вид ($\ref{eq:razd}$). $$-\frac{y'}{y^{2}}=\frac{2x}{x^{2}-1},$$ $$-\int\frac{dy}{y^{2}}=\int\frac{2x}{x^{2}-1}dx,$$ $$\frac{1}{y}=\ln\left|x^{2}-1\right|+C.$$ В задаче, однако, есть дополнительное задание: найти в этом семействе решений то, при котором $y\left(0\right)=1$ (т.е. проходящее через точку $\left(0;1\right)$) Тогда $$\frac{1}{1}=\ln\left|0^{2}-1\right|+C,\qquad C=1,$$ откуда $$\frac{1}{y}=\ln\left|x^{2}-1\right|+1,$$ $$y=\frac{1}{\ln\left|x^{2}-1\right|+1}.$$ Если бы дополнительного условия $y\left(0\right)=1$ в задаче не было, пришлось бы оставить в ответе всё семейство решений.

Задание: № 54 – 58 (задания, не решённые во время занятия, остаются на дом)

Первым из многочисленных типов уравнений, сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными, будет такой: $$y'=f\left(ax+by+c\right).$$ Он безымянный, не разобран в Филиппове, но уравнения такого типа там попадаются. В таких уравнениях делается замена (и это – первая замена, которую мы делаем в дифференциальных уравнениях) $ax+by+c=z$. Тогда $a+by'=z'$, $$a+by'=a+bf\left(ax+by+c\right),$$ $$z'=a+bf\left(z\right),$$ $$\frac{z'}{a+bf\left(z\right)}=1,$$ $$\int\frac{dz}{a+bf\left(z\right)}=x+C.$$

Например, №62: $$y'=\cos\left(y-x\right)$$ $z=y-x$, $z'=y'-1$, $$y'-1=\cos\left(y-x\right)-1,$$ $$z'=\cos\left(z\right)-1,$$ $$\frac{z'}{\cos\left(z\right)-1}=1,$$ $$\int\frac{dz}{\cos\left(z\right)-1}=-\int\frac{dz}{1-\cos\left(z\right)}=-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{\sin^{2}\left(\frac{z}{2}\right)}=\mathrm{ctg}\,\frac{z}{2}=x+C.$$ Теперь осталось выполнить обратную замену, и мы получим связь $x$ и $y$: $$\mathrm{ctg}\,\frac{y-x}{2}=x+C.$$ Задание: № 63, 65

Однородные уравнения имеют вид $$y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ В них выполняется замена $y=x\cdot u\left(x\right)$, где $u$ – новая искомая функция. При этом с уравнением происходит следующее: $$xu'+u=f\left(u\right),$$ $$xu'=f\left(u\right)-u,$$ $$\frac{u'}{f\left(u\right)-u}=\frac{1}{x},$$ $$\int\frac{du}{f\left(u\right)-u}=\ln\left|x\right|+C,$$ где нужно взять интеграл в левой части и заменить обратно $u=\frac{y}{x}$.

Например, решим №103: $$\left(y^{2}-2xy\right)dx+x^{2}dy=0$$ Перенося и деля, получим, что $$y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}}=-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2y}{x}.$$ Заменим: $$xu'+u=-u^{2}+2u,$$ $$xu'=-u^{2}+u,$$ $$\frac{u'}{u-u^{2}}=\frac{1}{x},$$ $$\ln\left|x\right|+\tilde{C}=\int\frac{du}{u-u^{2}}=\int\frac{1-u+u}{u\left(1-u\right)}du=\int\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\right)du=\ln\left|u\right|-\ln\left|1-u\right|,$$ $$\ln\left|x\right|+\tilde{C}=\ln\left|\frac{u}{1-u}\right|=\ln\left|\frac{\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}\right|=\ln\left|\frac{y}{x-y}\right|,$$ $$\ln\left|\frac{y}{x-y}\frac{1}{x}\right|=\tilde{C}.$$ Применим $e^{x}$ к обеим частям: $$\left|\frac{y}{x-y}\frac{1}{x}\right|=e^{\tilde{C}}$$ $$\frac{y}{x-y}\frac{1}{x}=\pm e^{\tilde{C}}\equiv C$$ Решим полученное относительно $x$: $$\frac{1}{\frac{x}{y}-1}=xC,$$ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{xC}+1,$$ $$\frac{y}{x}=\frac{1}{\frac{1}{xC}+1}=\frac{xC}{1+xC},$$ и окончательно $$y=\frac{x^{2}C}{1+xC}.$$ Задание: аналогичным способом решить №101, 102, 104-108.