Найти область сходимости интеграла ∞∫0xp−1lnx1+xdx. Я понял: надо было брать мажорирующую функцию прямо вместе с логарифмом.
Разложим интеграл на два по разным областям интегрирования
∞∫0xp−1lnx1+xdx=1∫0xp−1lnx1+xdx+∞∫1xp−1lnx1+xdx, и рассмотрим второе слагаемое. Уже было показано, что при p=1 оно расходится.
Пусть теперь p−1<0, p<1. Поделим на x числитель и знаменатель
xp−1lnx1+x=xp−2lnx1x+1,
и рассмотрим числитель. Его интеграл легко вычислить
∫xp−2lnxdx=1p−1∫(xp−1)′lnxdx=1p−1xp−1lnx−1p−1∫xp−2dx=
=1p−1xp−1lnx−1(p−1)2xp−1+C;
так как p−1<0,limx→∞xp−1lnx=0,
∞∫1xp−2lnxdx=1p−1xp−1lnx−1(p−1)2xp−1|∞1=1(p−1)2,
следовательно, он сходится. С другой стороны, при x>0
xp−2lnx1x+1>0,xp−2lnx>0,
и
limx→∞xp−2lnx1x+1xp−2lnx=limx→∞11x+1=1>0,
следовательно, интеграл
∞∫1xp−1lnx1+xdx
сходится по второму признаку сравнения.
Рассмотрим теперь первое слагаемое:
1∫0xp−1lnx1+xdx=1∫∞y1−pln1y1+1y(−1y2)dy=∞∫1y−pln1yy+1dy=−∞∫1y−plnyy+1dy,
где x=1y, y=1x, dx=−1y2dy.
Этот интеграл ровно такой же, что рассмотренный выше (2), за переобозначением переменной интегрирования и заменой степени с p−1 на −p. Мы уже выяснили, что для его сходимости степень эта должна быть меньше нуля, т.е. −p<0, p>0. Для сходимости исходного интеграла (1) должны одновременно сходиться слагаемые, на которые его разложили, что происходит при одновременном выполнении условий p<1 и p>0: p∈(0;1).
