Производная от производной называется второй производной y″≡(y′)′, производная второй производной – третьей производной y‴≡(y″)′ и так далее. Продифференцировав функцию y n раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую y(n) (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:
1) Линейность (αf(x)+βg(x))(n)=αf(n)(x)+βg(n)(x),α,β=const
2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) (uv)(n)=n∑k=0Cknu(n−k)v(k) Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.
Демидович, № 1115 y=(1+x2)arctgx,y″=? y′=2xarctgx+(1+x2)11+x2=2xarctgx+1 y″=(2xarctgx+1)′=2arctgx+2x11+x2 Задание: № 1111, 1112, 1114, 1116.
Иногда функция y(x) задана не в виде явного выражения от x, а в виде уравнения (это называется неявным заданием функции) F(x,y)=0. Тем не менее, от неё можно найти производные (первого и более порядков), не решая уравнение относительно неё. Для этого можно продифференцировать обе части уравнения, просто оставляя y′ там, где производная доберётся до y, а потом решить уравнение относительно y′.
Демидович, № 1148 Найти y′, y″ и y‴, если x2−xy+y2=1 (x2−xy+y2)′=0 (x2)′−(xy)′+(y2)′=0 2x−x′y−xy′+2yy′=0 2x−y+(2y−x)y′=0 y′=y−2x2y−x Дальнейшие производные можно получить дифференцированием как выражения для y′, так и более ранних уравнений: (2x−y+(2y−x)y′)′=0 раскрываем производную суммы, применяем правило Лейбница: 2x′−y′+(2y−x)′y′+(2y−x)y″=0 2−y′+(2y′−1)y′+(2y−x)y″=0 2+2(y′)2−2y′+(2y−x)y″=0 Далее требуется подставить вместо y′ найденное выше выражение: 2(1+(y−2x2y−x)2−y−2x2y−x)+(2y−x)y″=0 Немного наведения порядка в левых скобках 1+(y−2x2y−x)2−y−2x2y−x=1−y+x2y−xy−2x2y−x=4y2−4xy+x2(2y−x)2−y2−xy−2x2(2y−x)2=3y2−xy+x2(2y−x)2, и получаем результат: y″=−6y2−xy+x2(2y−x)3. И вот тут надо ловить момент. Так как в нашей задаче x2−xy+y2=1, y″=−6y2−xy+x2(2y−x)3=−61(2y−x)3. Теперь считать третью производную будет гораздо проще: y‴=−6−3(2y−x)4(2y′−1)=18(2y−x)4(2y−4x2y−x−2y−x2y−x)=18(2y−x)4−3x2y−x=−54x(2y−x)5. Задание: № 1146, 1147, 1149.
Функция может быть задана не только неявно, но и параметрически. При этом варианте y не напрямую зависит от x, вместо этого обе этих переменных зависят от некоей третьей, например, t: {y=φ(t),x=ψ(t). Если решить второе из этих уравнений относительно t, то t=ψ−1(x), где ψ−1 – функция, обратная к ψ, и y=φ(ψ−1(x)). Тогда по формуле дифференцирования сложной функции y′=φ′(ψ−1(x))[ψ−1(x)]′. Вспомним, что φ′(ψ−1(x))=φ′(t). Так как ψ(ψ−1(x))=x, дифференцируя обе части последнего по х, получим ψ′(ψ−1(x))[ψ−1(x)]′=1,⟹[ψ−1(x)]′=1ψ′(ψ−1(x))=1ψ′(t), y′=φ′(ψ−1(x))[ψ−1(x)]′=φ′(t)ψ′(t). Итак, для получения y′ нужно производную функции от t, которой был равен y, поделить на производную функции от t, которой был равен x. Для получения второй производной нужно то же самое сделать с первой производной: производную функции от t, которой был равен y′, поделить на производную функции от t, которой был равен x.
Демидович, № 1142 Найти y′, y″ и y‴, если {x=a(t−sint),y=a(1−cost). y′=(a(1−cost))′(a(t−sint))′=sint1−cost. Тут уже проявляется некоторая неоднозначность обозначений: если выражение содержит несколько переменных – можно считать разные переменные аргументами функции, по которым можно, в том числе, дифференцировать. Иногда для уточнения ставят под штрихом переменную, по которой ведётся дифференцирование. В этих обозначениях y′x=y′tx′t. Вторая производная: y″=ddtsint1−cost(a(t−sint))′=1a(1−cost)[cost1−cost−sint(1−cost)2sint]=1a(1−cost)[cost−cos2t(1−cost)2−sin2t(1−cost)2]= =1a(1−cost)cost−1(1−cost)2=−1a(1−cost)2. Третья: y‴=ddt(−1a(1−cost)2)(a(t−sint))′=1a(1−cost)2a(1−cost)3sint=2sinta2(1−cost)4.
Задание: № 1141, 1140, 1143.
