Производная от производной называется второй производной $y''\equiv(y')'$, производная второй производной – третьей производной $y'''\equiv(y'')'$ и так далее. Продифференцировав функцию $y$ $n$ раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую $y^{(n)}$ (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:
1) Линейность \[ \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)^{(n)}=\alpha f^{(n)}\left(x\right)+\beta g^{(n)}\left(x\right),\qquad\alpha,\beta=const \]
2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) \[ \left(uv\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \] Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.
Демидович, № 1115 \[ y=\left(1+x^{2}\right)\mathrm{arctg}\,x,\qquad y''=? \] \[ y'=2x\mathrm{arctg}\,x+\left(1+x^{2}\right)\frac{1}{1+x^{2}}=2x\mathrm{arctg}\,x+1 \] \[ y''=\left(2x\mathrm{arctg}\,x+1\right)^{\prime}=2\mathrm{arctg}\,x+2x\frac{1}{1+x^{2}} \] Задание: № 1111, 1112, 1114, 1116.
Иногда функция $y\left(x\right)$ задана не в виде явного выражения от $x$, а в виде уравнения (это называется неявным заданием функции) \[ F\left(x,y\right)=0. \] Тем не менее, от неё можно найти производные (первого и более порядков), не решая уравнение относительно неё. Для этого можно продифференцировать обе части уравнения, просто оставляя $y'$ там, где производная доберётся до $y$, а потом решить уравнение относительно $y'$.
Демидович, № 1148 Найти $y'$, $y''$ и $y'''$, если \[ x^{2}-xy+y^{2}=1 \] \[ \left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{\prime}=0 \] \[ \left(x^{2}\right)^{\prime}-\left(xy\right)^{\prime}+\left(y^{2}\right)^{\prime}=0 \] \[ 2x-x'y-xy'+2yy'=0 \] \[ 2x-y+\left(2y-x\right)y'=0 \] \[ y'=\frac{y-2x}{2y-x} \] Дальнейшие производные можно получить дифференцированием как выражения для $y'$, так и более ранних уравнений: \[ \left(2x-y+\left(2y-x\right)y'\right)^{\prime}=0 \] раскрываем производную суммы, применяем правило Лейбница: \[ 2x'-y'+\left(2y-x\right)'y'+\left(2y-x\right)y''=0 \] \[ 2-y'+\left(2y'-1\right)y'+\left(2y-x\right)y''=0 \] \[ 2+2\left(y'\right)^{2}-2y'+\left(2y-x\right)y''=0 \] Далее требуется подставить вместо $y'$ найденное выше выражение: \[ 2\left(1+\left(\frac{y-2x}{2y-x}\right)^{2}-\frac{y-2x}{2y-x}\right)+\left(2y-x\right)y''=0 \] Немного наведения порядка в левых скобках \[ 1+\left(\frac{y-2x}{2y-x}\right)^{2}-\frac{y-2x}{2y-x}=1-\frac{y+x}{2y-x}\frac{y-2x}{2y-x}=\frac{4y^{2}-4xy+x^{2}}{\left(2y-x\right)^{2}}-\frac{y^{2}-xy-2x^{2}}{\left(2y-x\right)^{2}}=3\frac{y^{2}-xy+x^{2}}{\left(2y-x\right)^{2}}, \] и получаем результат: \[ y''=-6\frac{y^{2}-xy+x^{2}}{\left(2y-x\right)^{3}}. \] И вот тут надо ловить момент. Так как в нашей задаче $x^{2}-xy+y^{2}=1$, \[ y''=-6\frac{y^{2}-xy+x^{2}}{\left(2y-x\right)^{3}}=-6\frac{1}{\left(2y-x\right)^{3}}. \] Теперь считать третью производную будет гораздо проще: \[ y'''=-6\frac{-3}{\left(2y-x\right)^{4}}\left(2y'-1\right)=\frac{18}{\left(2y-x\right)^{4}}\left(\frac{2y-4x}{2y-x}-\frac{2y-x}{2y-x}\right)=\frac{18}{\left(2y-x\right)^{4}}\frac{-3x}{2y-x}=\frac{-54x}{\left(2y-x\right)^{5}}. \] Задание: № 1146, 1147, 1149.
Функция может быть задана не только неявно, но и параметрически. При этом варианте $y$ не напрямую зависит от $x$, вместо этого обе этих переменных зависят от некоей третьей, например, $t$: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=\varphi\left(t\right),\\ x=\psi\left(t\right). \end{array}\right. \] Если решить второе из этих уравнений относительно $t$, то $t=\psi^{-1}\left(x\right)$, где $\psi^{-1}$ – функция, обратная к $\psi$, и \[ y=\varphi\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right). \] Тогда по формуле дифференцирования сложной функции \[ y'=\varphi'\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)\left[\psi^{-1}\left(x\right)\right]'. \] Вспомним, что $\varphi'\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)=\varphi'\left(t\right)$. Так как $\psi\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)=x$, дифференцируя обе части последнего по х, получим \[ \psi'\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)\left[\psi^{-1}\left(x\right)\right]'=1,\qquad\Longrightarrow\qquad\left[\psi^{-1}\left(x\right)\right]'=\frac{1}{\psi'\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)}=\frac{1}{\psi'\left(t\right)}, \] \[ y'=\varphi'\left(\psi^{-1}\left(x\right)\right)\left[\psi^{-1}\left(x\right)\right]'=\frac{\varphi'\left(t\right)}{\psi'\left(t\right)}. \] Итак, для получения $y'$ нужно производную функции от $t$, которой был равен $y$, поделить на производную функции от $t$, которой был равен $x$. Для получения второй производной нужно то же самое сделать с первой производной: производную функции от $t$, которой был равен $y'$, поделить на производную функции от $t$, которой был равен $x$.
Демидович, № 1142 Найти $y'$, $y''$ и $y'''$, если \[ \left\{ \begin{array}{c} x=a\left(t-\sin t\right),\\ y=a\left(1-\cos t\right). \end{array}\right. \] \[ y'=\frac{\left(a\left(1-\cos t\right)\right)^{\prime}}{\left(a\left(t-\sin t\right)\right)^{\prime}}=\frac{\sin t}{1-\cos t}. \] Тут уже проявляется некоторая неоднозначность обозначений: если выражение содержит несколько переменных – можно считать разные переменные аргументами функции, по которым можно, в том числе, дифференцировать. Иногда для уточнения ставят под штрихом переменную, по которой ведётся дифференцирование. В этих обозначениях \[ y'_{x}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}}. \] Вторая производная: \[ y''=\frac{\frac{d}{dt}\frac{\sin t}{1-\cos t}}{\left(a\left(t-\sin t\right)\right)^{\prime}}=\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)}\left[\frac{\cos t}{1-\cos t}-\frac{\sin t}{\left(1-\cos t\right)^{2}}\sin t\right]=\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)}\left[\frac{\cos t-\cos^{2}t}{\left(1-\cos t\right)^{2}}-\frac{\sin^{2}t}{\left(1-\cos t\right)^{2}}\right]= \] \[ =\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)}\frac{\cos t-1}{\left(1-\cos t\right)^{2}}=-\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)^{2}}. \] Третья: \[ y'''=\frac{\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)^{2}}\right)}{\left(a\left(t-\sin t\right)\right)^{\prime}}=\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)}\frac{2}{a\left(1-\cos t\right)^{3}}\sin t=\frac{2\sin t}{a^{2}\left(1-\cos t\right)^{4}}. \]
Задание: № 1141, 1140, 1143.
