Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где – внешняя сторона поверхности параллелепипеда ; ; .

где . С поверхностью сложнее. Общее правило гласит, что интеграл по множеству равен сумме интегралов по подмножествам, если эти подмножества не пересекаются, а их объединение образует исходное множество. Для поверхностных интегралов второго рода оно тоже действует, и интеграл по поверхности параллелепипеда есть сумма следующих интегралов: по ближней грани, по дальней грани, по левой и правой граням, а также по верхней и нижней граням. На каждой грани выбирается своя параметризация поверхности.

В частности, если ось направлена на нас, ось – вправо, а ось – вверх, то ближняя грань задаётся уравнением , радиус-вектор точек этой грани будет зависеть от параметров и . Тогда Вектор , имеющий то же направление, что и вектор , на ближней грани направлен из параллелепипеда, нам же требуется найти интеграл по внешней стороне, следовательно направление выбрано правильно. Тогда на ближней грани , и

Аналогично для дальней стенки . Вектор будет сонаправлен вектору , направленному вовне параллелепипеда для дальней грани, значит

Сумма интегралов по ближней и дальней граням

Точно так же для левой и правой стенок находится, что

а для верхней и нижней - что

Следовательно,