Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Итак, мы искали
\[
U\left(t,r,\varphi\right)=T\left(t\right)R\left(r\right)\Phi\left(\varphi\right)H\left(h\right),
\]
и получили, что



\[
\Phi_{n}=C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right),
\]
\[
\mu=n^{2},
\]
\[
R_{nk}=C_{nk}^{3}\,J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right),
\]
\[
\varkappa=-\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}}\right)^{2},
\]
\begin{equation}
H=\tilde{C}_{4}\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha h\right)+\tilde{C}_{5}\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha h\right),\label{his}
\end{equation}
\[
T=C_{nk}^{6}\left(\alpha\right)\exp\left\{ -a^{2}t\left[\alpha^{2}+\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}}\right)^{2}\right]\right\} ;
\]
и тогда, после переобозначений,
\[
U=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\int\limits _{0}^{\infty}d\alpha R\Phi TH=
\]
\[
=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\int\limits _{0}^{\infty}d\alpha\,J_{n}\left(\mu_{k}^{(n)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[C_{n}^{1}\cos\left(n\varphi\right)+C_{n}^{2}\sin\left(n\varphi\right)\right]\exp\left\{ -a^{2}t\left[\alpha^{2}+\left(\frac{\mu_{k}^{(n)}}{r_{0}}\right)^{2}\right]\right\} \left[C_{nk}^{4}\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha h\right)+C_{nk}^{5}\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha h\right)\right].
\]
Дальше нужно учесть начальные условия. Из независимости таковых от $\varphi$ стандартным образом (умножая на $\cos\left(m\varphi\right)$ и $\sin\left(m\varphi\right)$, после чего интегрируя по $\varphi$ от $-\pi$ до $\pi$) получаем, что
\[
C_{n}^{2}=0;\qquad C_{n}^{1}=0\qquad(n>0),
\]
и после переобозначения $C_{0}^{1}C_{0k}^{4}\left(\alpha\right)=A_{k}\left(\alpha\right)$, $C_{0}^{1}C_{0k}^{5}\left(\alpha\right)=B_{k}\left(\alpha\right)$ запишем
\begin{equation}
U=\sum_{k=1}^{\infty}\int\limits _{0}^{\infty}d\alpha\,J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\exp\left\{ -a^{2}t\left[\alpha^{2}+\left(\frac{\mu_{k}^{(0)}}{r_{0}}\right)^{2}\right]\right\} \left[A_{k}\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha h\right)+B_{k}\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha h\right)\right].\label{u_ser_int}
\end{equation}
Так как
\[
\left.U\right|_{t=0}=A,\qquad\Longrightarrow\qquad\left.U_{h}\right|_{t=0}=0.
\]
Подставив в последнее $U$ из (\ref{u_ser_int}), получим
\[
\left.U_{h}\right|_{t=0}=\sum_{k=1}^{\infty}\int\limits _{0}^{\infty}d\alpha\,J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\left[-\alpha A_{k}\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha h\right)+\alpha B_{k}\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha h\right)\right]=0,
\]
\[
\int\limits _{0}^{\infty}d\alpha\,\left\{ \left[-\alpha\sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)A_{k}\left(\alpha\right)\right]\sin\left(\alpha h\right)+\alpha\left[\sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)B_{k}\left(\alpha\right)\right]\cos\left(\alpha h\right)\right\} =0,
\]
откуда, по формулам разложения в интеграл Фурье,
\[
-\alpha\left[\sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)B_{k}\left(\alpha\right)\right]=\frac{1}{\pi}\int\limits _{-\infty}^{\infty}0\cdot\sin\left(\alpha p\right)dp=0,
\]
\[
\alpha B_{k}\left(\alpha\right)=0
\]
и
\[
\alpha\left[\sum_{k=1}^{\infty}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)A_{k}\left(\alpha\right)\right]=\frac{1}{\pi}\int\limits _{-\infty}^{\infty}0\cdot\cos\left(\alpha p\right)dp=0,
\]
\[
\alpha A_{k}\left(\alpha\right)=0.
\]
Отсюда или $\alpha\neq0$, тогда $A_{k}\left(\alpha\right)=B_{k}\left(\alpha\right)=0$ и $U=0$ (см. (\ref{u_ser_int})); или $\alpha=0$, тогда из (\ref{his}) $H=const$, и
\[
U=\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)\exp\left[-\left(\frac{a\mu_{k}^{(0)}}{r_{0}}\right)^{2}t\right].
\]
Далее $C_{k}$ получаются из начальных условий, разложением $A$ по $J_{0}\left(\mu_{k}^{(0)}\frac{r}{r_{0}}\right)$ (как в №100).