Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
$$\int\limits _{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}xdx=\left(-1\right)^{m}\int\limits _{0}^{\infty}e^{-ny}y^{m}dy.$$
Пусть $n>1$.

Умножим на $-y$ обе части этого неравенства ($y\geqslant0$):
$$-ny\leqslant-y,$$
теперь применим возрастающую $e^{x}$
$$e^{-ny}\leqslant e^{-y},$$
и домножим на $y^{m}$
$$e^{-ny}y^{m}\leqslant e^{-y}y^{m}.$$
Так как $e^{-y}y^{m}=e^{-\frac{y}{2}}\cdot e^{-\frac{y}{2}}y^{m}$ и
$$\lim_{y\to\infty}e^{-\frac{y}{2}}y^{m}=0,$$
$\exists Y$: при $\forall y>Y$
$$e^{-\frac{y}{2}}y^{m}<1.$$ Тогда при $\forall y>Y$
$$e^{-y}y^{m}< e^{-\frac{y}{2}},$$ интеграл $$\int\limits _{0}^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy=-\left.2e^{-\frac{y}{2}}\right|_{0}^{\infty}=2$$ сходится, значит интеграл $$\int\limits _{0}^{\infty}e^{-y}y^{m}dy$$ сходится по первому признаку сравнения, а следовательно, исходный интеграл сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.