Нагородил « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

30.03.2010

Нагородил

Filed under: пепел — Shine @ 2:50 дп

Простите, гр.682, я нагнал вам лютой пурги. Вот как должно было выглядеть объяснение формулы Коши и примера 5.15:

По формуле Коши

$\displaystyle f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_l\frac{f(z)}{z-z_0}dz,$

где $l$ - замкнутый контур, огибающий точку $z_0$ и лежащий в области, в которой $f(z)$ аналитична. Таким образом, всё подынтегральное выражение имеет внутри области, огибаемой контуром $l$ , только одну особую точку, которую (это будет пройдено позже) называют полюсом первого порядка. Эту формулу в следующем виде

$\displaystyle \oint\limits_l\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)$

можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам, если подынтегральное выражение можно представить как аналитичную функцию, делимую на выражение вида $z-z_0$ .

Так и делается интеграл

$\displaystyle \oint\limits_{\vert z-i\vert=1}\frac{\sin\left(\frac{i\pi z}{2} \right) }{z^2+1}dz.$

Раскладываем

$\displaystyle \frac{\sin\left(\frac{i\pi z}{2} \right) }{z^2+1}=\frac{\sin\left(\frac{i\pi z}{2} \right) }{z+i}\frac{1}{z-i}.$

Функция $\frac{\sin\left(\frac{i\pi z}{2} \right) }{z+i}$ имеет особенность в точке $-i$ , но внутри контура интегрирования она аналитична, поэтому, по формуле Коши,

$\displaystyle \oint\limits_{\vert z-i\vert=1}\frac{\sin\left(\frac{i\pi z}{2} \... ...(\frac{i\pi z}{2} \right) }{z+i} \right\vert _{z=i}=2\pi i\frac{-1}{2i}=-\pi .$