Даишев, Кузнецова 6.21 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

20.04.2010

Даишев, Кузнецова 6.21

Filed under: ТФКП — Shine @ 10:27 пп

Разложить функцию

$\displaystyle f(z)=\frac{9}{(z^2+1)(z^2-2)^2}$

(1)

в степенные ряды во всех областях комплексной плоскости.

Функция $f(z)$ допускает четыре особых точки: $\pm i$ и $\pm \sqrt{2}$ . Области сходимости степенных рядов разложения этой функции в точке $a=0$ будут ограничены окружностями с центором в начале координат и проходящими через особые точки. Таких окружностей будет две: с радиусами $1$ и $\sqrt{2}$ .
Мы видим, что комплексная плоскость разделилась на три области, в каждой из которых $f(z)$ представляется разными сходящимися рядами.

Разложим функцию $f(z)$ на слагаемые:

$\displaystyle f(z)=\frac{9}{(z^2+1)(z^2-2)^2}=\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{2-z^2}+\frac{3}{(2-z^2)^2}\equiv f_1(z)+f_2(z)+f_3(z).$

(2)

Первое слагаемое имеет особые точки $i$ и $-i$ . Его разложение в ряд Тейлора вокруг нуля сходится внутри малой окружности, т.е. в области I, а его разложение вокруг бесконечности сходится снаружи малой окружности, т.е. в областях II и III.

Второе и третье слагаемые имеют особые точки $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ , области сходимости их рядов ограничены большой окружностью. Их разложение в ряд Тейлора вокруг нуля сходится внутри большой окружности, т.е. в областях I и II, а их разложение вокруг бесконечности сходится снаружи большой окружности, т.е. в области III.

Из вышесказанного следует, что для того, чтобы получить сходящиеся ряды для функции $f(z)$ , нужно:

Для области I сложить ряды для всех трёх слагаемых, разложенных вокруг нуля;
Для области II сложить ряды для первого слагаемого, разложенного вокруг бесконечности, и для вторых двух слагаемых, разложенных вокруг нуля;
Для области III сложить ряды для всех трёх слагаемых, разложенных вокруг бесконечности.

Осталось получить соответствующие разложения. Для этого воспользуемся общеизвестным разложением

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=1+\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n+1},$

(3)

откуда дифференцированием обеих частей можно получить:

$\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n.$

(4)

Вокруг нуля

$\displaystyle f_1(z)=\frac{1}{1-(-z^2)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-z^2)^n= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n}$

(5)

$\displaystyle f_2(z)=\frac{1}{2-z^2}= \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{z^2}{2}}= \f... ...{\infty}\left( \frac{z^2}{2}\right)^n= \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{1-n}z^{2n}$

(6)

$\displaystyle f_3(z){=}\frac{3}{(2-z^2)^2}{=} \frac{3}{4}\frac{1}{\left( 1-\fra... ...\frac{z^2}{2}\right)^n {=}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3\frac{n+1}{2^{n+2}}z^{2n}$

(7)

Вокруг бесконечности

Тут мы будем пользоваться преобразованием $z=1/w$ , раскладывать вокруг точки $w_0=0$ , потом переходить обратно к $z$ .

$\displaystyle f_1=\frac{w^2}{1+w^2}=w^2\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nw^{2n}=... ...s_{n=0}^{\infty} (-1)^nw^{2(n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nz^{-2(n+1)}$

(8)

$\displaystyle f_2=\frac{w^2}{2w^2-1}=-w^2\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^nw^{2n}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} -2^nz^{-2(n+1)}$

(9)

$\displaystyle f_3=\frac{3}{\left( 2-\frac{1}{w^2}\right)^2}= \frac{3w^4}{(1-2w^... ...imits_{n=0}^{\infty} 2^nw^{2n}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} 3(n+1)2^nz^{-2(n+2)}$

(10)

Теперь, используя полученное, запишем ответ для всех трёх областей. В области I

$\displaystyle f(z)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left((-1)^n+2^{1-n}+3\frac{n+1}{2^{n+2}}\right) z^{2n};$

в области II

$\displaystyle f(z)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}z^{-2n}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(2^{1-n}+3\frac{n+1}{2^{n+2}}\right) z^{2n};$

в области III

$\displaystyle f(z)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nz^{-2(n+1)}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty} -2^nz^{-2(n+1)}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty} 3(n+1)2^nz^{-2(n+2)}=$

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( (-1)^n-2^n+3n2^{n-1} ) z^{-2(n+1)}.$

2 комментария

2 комментария »

у Вас во второй формуле опечатка.
объясните мне,пожалуйста,почему при разложении функции по формуле 4 коэффициент (n+1) не учитывается?

Комментарий by Света Юматова — 20.04.2011 @ 7:28 дп
Всё поправил, теперь учитывается.

Комментарий by Shine — 20.04.2011 @ 5:55 пп