Найти значение интеграла:
Судя по всему, авторы имели в виду такой интеграл:
|
Уравнение
задаёт окружность с центром в точке
и радиусом 2. Особые точки подынтегрального выражения определяются из уравнения
. Оно даёт десять корней, каждый из которых имеет кратность 1. Следовательно, каждый из корней является полюсом первого порядка.
Обозначим их и приведём некоторые их свойства, легко получаемые из определения:
|
 |
(1) |
 |
(2) |
Все точки

входят в область, ограниченную контуром. Вычеты в них вычисляются по формуле
Также нам пригодится обозначение для корней десятой степени единицы:
 |
(3) |
Умножаются эти числа по следующим правилам:
 |
(4) |
 |
(5) |
 |
(6) |
По теореме о вычетах, раскладывая знаменатель на множители получим:
Умножим каждую скобку в знаменателе на

. Для сохранения равенства умножим числитель на

. По формуле (
6) получим
 |
(7) |
Применим (
3) и поменяем местами выделенные множители в знаменателе с невыделенными:
 |
(8) |
Рассмотрим теперь судьбу последнего слагаемого. Согласно (
1)
Тогда по (
2)
откуда согласно (
8)