Даишев, Кузнецова 7.10 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

11.05.2011

Даишев, Кузнецова 7.10

Filed under: ТФКП — Shine @ 1:20 дп

Очевидно, что единственная кроме бесконечности особая точка функции $f(z)=z^3\,\cos\left(\frac{1}{z-2}\right)$ - это $z=2$ . Используя известное разложение косинуса $\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{2\,n}}{ \left(2\,n\right)!}}}$ , представим функцию $f(z)$ так:

$\displaystyle z^3\,\cos \left({\frac{1}{z-2}}\right)= z^3\,\sum_{n=0}^{\infty }{ {\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2\,n\right)!\,\left(z-2\right)^{2 \,n}}}}=$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }{{\frac{8\,\left(-1\right)^{n}}{\left(2\,n \... ...ac{12\,\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\right)^{1-2\,n}}{\left(2\,n\right)!}}}$

Для того, чтобы найти вычет в точке $z=2$ , надо из этих сумм выбрать слагаемые, имеющие множитель $(z-2)^{-1}$ . Первая и третья из этих сумм содержат только слагаемые с целыми степенями $(z-2)$ , следовательно, нужные нам слагаемые есть только в этих суммах:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }{{\frac{\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\righ... ...ac{12\,\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\right)^{1-2\,n}}{\left(2\,n\right)!}}}$