Processing math: 5%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

11.09.2011

Демидович, № 3726

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 9:56 пп
Доказать, что функция Бесселя Jn(x)=1ππ0cos(nφxsinφ)dφ,nZ удовлетворяет уравнению Бесселя x2Jn

Вначале найдём первую производную J_{n}'\left(x\right) и сразу провернём её по частям, чтобы получить \cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right) в интеграле: J_{n}'\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi= =-\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos'\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=-\left.\frac{1}{\pi}\cos\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\left[\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right]^{\prime}d\varphi= =\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\left(n-x\cos\varphi\right)d\varphi. Вторая производная получается дифференцированием первоначального вида первой в таком виде: J_{n}''\left(x\right)=-\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi. Теперь подставим всё в левую часть уравнения Бесселя: x^{2}J_{n}''\left(x\right)+xJ_{n}'\left(x\right)+\left(x^{2}-n^{2}\right)J_{n}\left(x\right)= =-\frac{x^{2}}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi+\frac{x}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\left(n-x\cos\varphi\right)d\varphi+ +\frac{1}{\pi}\left(x^{2}-n^{2}\right)\intop_{0}^{\pi}\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi= объединим интегралы и вынесем \frac{1}{\pi} и \cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right): =\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\sin^{2}\varphi+x\cos\varphi\left(n-x\cos\varphi\right)+\left(x^{2}-n^{2}\right)\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi= далее несложными, но требующими аккуратности преобразованиями получим =\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\sin^{2}\varphi+nx\cos\varphi-x^{2}\cos^{2}\varphi+x^{2}-n^{2}\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi= =\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\left(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\right)+x^{2}+nx\cos\varphi-n^{2}\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi= =-\frac{n}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left(n-x\cos\varphi\right)\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=-\left.\frac{n}{\pi}\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right|_{0}^{\pi}=0, что и требовалось получить.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников