Демидович, №3807 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

29.09.2011

Демидович, №3807

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 8:20 пп

Найти величину интеграла:

$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\infty }{e^{-x^2-\dfrac{a^2}{x^2}}\;dx}.$

(1)

Вспомним интеграл Эйлера-Пуассона

$\displaystyle \int\limits_{ -\infty }^{\infty }{e^ {- y^2 }\;dy}=\sqrt{\pi},$

и произведём в нём замену $x-\dfrac{a}{x}=y$ :

$\displaystyle \int\limits_{ -\infty }^{0}{{\frac{\left(e^{2\,a}\,x^2+a\,e^{2\,a}\right)}{x^2}}\,e ^ {- {\dfrac{x^4+a^2}{x^2}} }\;dx}=\sqrt{\pi}.$

После раскрытия скобок и замены $x$ на $-x$ , получим:

$\displaystyle a\,e^{2\,a}\,\int\limits_{0}^{\infty }{{\frac{1}{ x^2}}e^{-x^2-{... ...{2\,a}\,\int\limits_{0}^{\infty }{e^{-x^2-{\frac{a^2}{x^2}}} \;dx}=\sqrt{\pi}.$

Далее продифференцируем (1) и учтём результат в предыдущем равенстве:

$\displaystyle I'=-2\,a\,\int\limits_{0}^{\infty }{{\dfrac{1}{x^2}}\,e^{-x ^2-{... ...2}{x^2}}}\;dx} \quad\Longrightarrow\quad 2\,I-I'=2\,\sqrt{\pi} \,e^ {- 2\,a }.$