Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

23.10.2011

Демидович №3988

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 1:59 пп

Найти площадь фигуры Ω , ограниченной графиком уравнения:

( )2 y3 + x3 = y2 + x2
(1)

при x > 0 и y > 0 , перейдя к полярным координатам.

Произведём замену координат на полярные

{ x = R cos φ y = R sinφ
в уравнении (1):
( 3 3 3 3)2 2 2 2 2 sin φR + cos φR = sin φR + cos φR ,
упростим
( ) sin3 φ - cosφ sin2φ + cosφ R2 = 1
и выразим R2
R2 = -------------1-------------. sin3 φ - cos φsin2φ + cosφ
(2)


Площадь фигуры Ω находится по формуле

∫∫ S = 1dxdy. Ω
Так как область Ω в первой четверти будет такой, как изображено на рисунке, в полярных координатах интеграл из этой формулы запишем так:
∫π∕2 ∫R ∫π∕2 ∫π∕2 S = dφ rdr = 1- R2d φ = 1- ------------1-------------d φ, 2 2 sin3 φ - cosφ sin2φ + cos φ 0 0 0 0
и после замены tg φ2-= t
∫1 t4 + 2t2 + 1 S = - ----------------------dt. t6 - 3t4 - 8t3 + 3t2 - 1 0
Взяв этот интеграл, получим
( ( √ -- ) ( √ -- ) √ -- ( √ -- ) √ -- ( √ -- ) ) S = - 1- 2 arctg √-3---1 + 2arctg √-3 +-1 - 2ln 2 + 1 + 2ln 2 - 1 - 2π , 6 3 + 1 3 - 1
что после применения формулы
1- π- arctgα + arctg α = 2
упростится до
√ -- ( √ -- ) 2 2 + 1 π S = ----ln √------ + -. 6 2 - 1 6
Упростив выражение под логарифмом, окончательно получим
√2-- ( √ -) π S = ----ln 3 + 2 2 + -. 6 6

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников