Демидович №3991 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

23.10.2011

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 2:03 пп

Найти площадь фигуры $Ω$ , ограниченной графиком уравнения:

2 2 y--+ x--= y-+ x- b2 a2 k h

(1)

перейдя к обобщённым полярным координатам.

В этой задаче в обобщённых полярных координатах оставим $r$ в первой степени:

{ x = arcos φ y = brsinφ.

(2)

Тогда уравнение (1) станет таким (как $R$ обозначим координату точек на границе области $Ω$ ):

bsinφR acos φR sin2 φR2 + cos2 φR2 = --------+ --------. k h

Отсюда

R = bh-sin-φ-+-ak-cosφ- hk

Якобиан координат будет таким:

| | || acos φ b sin φ || J = |- ar sin φ br cosφ | = abr.

Площадь фигуры $Ω$ находится по формуле

∫∫ S = 1dxdy Ω

Интегрировать по $φ$ возможно по тем областям, в которых $r ≥ 0$ , поэтому в обобщённых полярных координатах

π- ar∫ctg abhk∫R π- a∫rctg abkh π-a∫rctg abkh ab- 2 --ab-- 2 S = ab rdrd φ = 2 R dφ = 2h2k2 (bh sinφ + ak cos φ) dφ, - arctg ak 0 - arctg ak - arctg ak bh bh bh

что после взятия интеграла даёт

πab-(a2k2-+-b2h2) S = 2h2k2 .

No comments yet.

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.